切比雪夫逼近方法

本文給出了物理學家和工程師感興趣的一般切比雪夫逼近方法(Chehyshev approximation method)的處理方法。詳細討論了切比雪夫多項式(Chebyshev polynomial)的性質, 簡要介紹了其在電路理論中的應用.

介紹

在逼近給定函數的各種方法中, 切比雪夫方法(Chebyshev method)對于物理學家和工程師來說是最有吸引力和最重要的方法之一。最初由切比雪夫(P. I. Chebyshev)在機械連桿問題中引入[26], 隨著威廉·卡爾(W. Cauer)發表《一種新的濾波器設計方法》[5], 該方法在電氣工程中變得特別重要。

本文的目的是回顧關于這個主題的各種文章, 目的是以高度概括的方式介紹材料, 讓物理學家和工程師充分理解這個逼近問題。特別強調了切比雪夫多項式, 并簡要應用于電路理論。

1. 逼近問題和切比雪夫逼近

其最大偏差等于2.75。如圖1所示。

3.切比雪夫多項式

在區間中的切比雪夫多項式

切比雪夫多項式的更多性質

4. 最大化最大根(Maximization of the largest root)。

10. 切比雪夫多項式中任意函數的展開。

譯注:下圖是真空三極管原理圖

切比雪夫多項式在天線上的應用

天線設計中經常遇到的問題是波束應盡可能窄, 功率增益應最大且旁瓣應相對較小。這些要求通常不容易甚至不可能同時滿足, 因此出現了關于什么是最佳方向圖模式的問題。對于本次討論, 我們將把具有指定的旁瓣電平具有最小波束寬度的方向圖稱為最佳方向圖。

要確定獲得最佳方向圖的方法, 考慮一組n個各向同性點源, 它們的間距均勻分布并且都處于同一相位, 如圖5所示。

切比雪夫項式與濾波器的關系

考慮圖6中所示的電路網絡。

圖6. 以梯形方式連接的有限被動元件網絡

定向耦合器的應用

F. Bolinder已經指[2]出, 如果希望在定向耦合器中最大化通帶寬度與通帶中反射波電平的比率, 那么對于給定數量的元件, 人們將以這樣一種方式選擇耦合因子, 即反向電流值隨距離的變化將是以切比雪夫多項式描述。

審核編輯：劉清