本文將列舉出了關于設計開關電容電路過程中的3種情況，一個是恒壓源Vo給電容C充電的問題，第二個是電壓為Vo的電容如何給一個電壓為V1的電容充電問題等。本文將會進行詳細的解說。

偶然點到這個問題，這是一個很有意思的現象，恰好我最近就在學習和設計開關電容電路（switched capacitor converter），愿意和大家探討學習一下。

首先我們看第一種情況：一個恒壓源Vo給電容C充電

可以看到電壓源損失的能量是CVo^2， 而電容C上獲得的能量是0.5CVo^2，那么一半的能量在充電過程中損失了。如果我們假設開關是理想的，Ron=0，那么loss是那里產生的呢？有答案認為是電磁輻射發散出去的。我們知道，如果開關是理想的，在接通開關的一瞬間，開關上流過的電流是無窮大的，一個無窮大的電流流過Ron=0的開關，產生的loss其實是一個取極限的結果：。不管怎樣，我們知道了一個恒壓源Vo給電容C充電要有0.5CVo^2的loss.

第二種情況：一個電壓為Vo的電容給一個電壓為V1的電容充電（Vo》V1），兩者電容值都是C，我們仍然假設開關是理想的，Ron=0.

可以看到V0電容損失的能量是CVo（Vo-V1）， 而V1電容上獲得的能量是0.5C（Vo^2-V1^2），充電過程中損失的loss是0.5*C（V0-V1）^2，所以，我們可以看到電壓不同的電容之間充電也會有loss的。

那么有些不死心的朋友要問了：有沒有情況下給電容充電是無損（lossless）的呢？答案是有的，我們來看第三種情況：一個電流源I給電容充電，把電容的電壓從V1提升到V0.

可以看到電流源I損失的能量等于電容上得到的能量等于0.5C（Vo^2-V1^2），充電過程是無損的！

以上就是開關電容電路（switched capacitor converter）的loss雛形，那么我們為什么要費盡心思搞這個有loss的switched capacitor converter呢？這是因為在實際生活中，好電容易得，但好電感難求！尤其是在集成電路（integrated circuit）領域，magnetics（比如電感、變壓器）是很難集成到芯片里面的，如果我們只用電容和transistor搭建一個converter，功率密度（power density）會極大提高！1k-2k W/inch3 的converter也是有可能做出來的！

舉一個例子，我們來看一個最經典結構： 2-1 ladder switched capacitor converter。其中gate signal：Q1與Q3同時開啟與關閉，Q2與Q4同時開啟與關閉。g1與g2，g3與g3是half bridge，也就是兩對complementary開關的管子。Marek和Dragan在1995年一篇TPE ［1］ 上提出任何switched capacitor converter都可以建模成一個DC變壓器和一個輸出電阻Ro，DC變壓器的變壓比M代表了converter的conversion ratio，輸出電阻Ro代表了Converter的Loss。這里存在一個所謂的“Fast Switching Limit”和“Slow Switching Limit”問題了。這是什么意思呢？就是說SC converter在不同頻率下代表Loss的Ro是不同的！那么如何求出M和RFSL（Fast Switching Limit Rout）和RSSL（slow Switching Limit Rout）成了我們關心的問題。

Mike.Seeman大神在他MS thesis ［2］ 里面詳細闡述了這個問題，他用的是charge flow analysis，意思就是求出每個情況下通過各個elements的charge，然后進行M和loss Ro的計算。具體細節我就不贅述了，我自己瞎逼推導了一下，大家隨便看看。

Conversion Ratio M：

Slow Switching Limit：

Fast Switching Limit：

最終，我們把Switched Capacitor Converter進行了簡單的建模：

值得注意的是，Loss Ro的計算只考慮的conduction loss，而且是用平均電流代替了RMS電流來計算loss，沒有考慮switching loss和gating loss，所以這只是一個很粗糙的模型，只是讓我們直觀感受一下converter loss與開關頻率frequency的關系。我們其實希望SC converter工作在FSL范圍內，這樣的loss比SSL內小，但是我們又不希望頻率過高，這樣會帶來其他switching loss和gating loss的損失。

SC Converter的好處例如high power density，利于集成等優點說了很多，但是缺點也是不容忽視的：比如conversion ratio固定，不能regulate output voltage；transient current很大。那么我們有沒有辦法解決這個問題呢？答案是有的，解決的手段就是用hybrid/resonant switched capacitor converter（還記得在第三幅圖中電流源I給電容充電是無損的那個例子嗎？）。在topology方面，我們在SC converter的輸出或輸入端串聯一個傳統的buck或者boost converter，或者在tank里面引入resonant電感，來實現soft charge和regulation。在control方面我們可以有frequency and/or phase shift control。具體細節這里就不再贅述了。

PS. 比起前面花里胡哨的charge flow analysis來分析Loss，Sarah和Jason Stauth大神在COMPEL 2016上提出了switched capacitor和 Hybrid/Resonant Switched-Capacitor Converters的Ro的通式 Ro（fs） ，對 Ro（fs）取fs-》0和fs-》inf 兩端極限就可以得到“Fast Switching Limit”和“Slow Switching Limit”的Ro了。可謂重劍無鋒，大巧不工，這篇文章獲得了2016 COMPEL最佳文章之一。