石英諧振器的數學描述

在壓電材料中，電流和電壓與彈性位移和應力的耦合
{T} = [c] {S} - [e] {E}
{D} = [e] {S} + [∈] {E}
式中：
{T} = 應力張量， [c] =彈性剛度矩陣，{S} =應變張量， [e] =壓電矩陣
{E} = 電場矢量， {D} =電位移矢量， [∈] = 介電矩陣
對于線性壓電材料

式中：

石英的電彈性矩陣
除了各主斜線完全相易，其它各線連接
數值方程。
○表示●的負值
◎表示數值方程的兩倍
×表示1/2（C11－C12）
獨立的非零常數的數量取決于晶體的對
稱性。對于石英（三角晶系，32 中晶類），

有10 個獨立的線性常數：6 個彈性常數，2 個壓電常數和2 個介電常數。這些“常數”均與
溫度、應力、坐標系有關。
為了描述諧振器的性能，必須在晶片表面相當的電和機械邊界條件下連續求解牛頓運動
定律和麥克斯韋微分方程*

這些方程很“凌亂”，對實際上可以實現的三維諧振器，決不能以閉合形式求解。幾乎
所有的理論文章均采用近似值。
某些最重要的諧振器現象（如加速度靈敏度）是由于非線性效應引起的。石英具有許多
高階常數，例如14 個三階彈性常數和23 個四階彈性常數，以及16 個三階壓電系數；非線
性方程很“凌亂”。
*磁場效應一般可以忽略不計；石英是非磁性的，但磁場能夠影響安裝結構和電極。