什么是拉普拉斯變換

拉普拉斯變換：拉普拉斯變換（英文：Laplace Transform)，是工程數學中常用的一種積分變換。

如果定義： f(t),是一個關于t,的函數，使得當t<0,時候，f(t)=0,；s, 是一個復變量；

mathcal 是一個運算符號，它代表對其對象進行拉普拉斯積分int_0^infty e^ ,dt；F(s),是f(t),的拉普拉斯變換結果。

則f(t),的拉普拉斯變換由下列式子給出：

F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt

拉普拉斯逆變換，是已知F(s),，求解f(t),的過程。用符號 mathcal ^ ,表示。

拉普拉斯逆變換的公式是：

對于所有的t>0,；

f(t)

= mathcal ^? left

=frac? int_ ^? F(s),e^? ,ds

c,是收斂區間的橫坐標值，是一個實常數且大于所有F(s),的個別點的實部值。
為簡化計算而建立的實變量函數和復變量函數間的一種函數變換。對一個實變量函數作拉普拉斯變換，并在復數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，往往比直接在實數域中求出同樣的結果在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數方程來處理，從而使計算簡化。在經典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優點，是可采用傳遞函數代替微分方程來描述系統的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性（見信號流程圖、動態結構圖）、分析控制系統的運動過程（見奈奎斯特穩定判據、根軌跡法），以及綜合控制系統的校正裝置（見控制系統校正方法）提供了可能性。

? 用 f(t)表示實變量t的一個函數，F(s)表示它的拉普拉斯變換，它是復變量s＝σ＋j&owega;的一個函數，其中σ和&owega; 均為實變數,j2＝-1。F(s)和f(t)間的關系由下面定義的積分所確定：


如果對于實部σ ＞σc的所有s值上述積分均存在，而對σ ≤σc時積分不存在，便稱 σc為f(t)的收斂系數。對給定的實變量函數 f(t)，只有當σc為有限值時，其拉普拉斯變換F(s)才存在。習慣上,常稱F(s)為f(t)的象函數,記為F(s)＝L[f(t)];稱f(t)為F(s)的原函數,記為ft＝L-1[F(s)]。

? 函數變換對和運算變換性質? 利用定義積分，很容易建立起原函數 f(t)和象函數 F(s)間的變換對，以及f(t)在實數域內的運算與F(s)在復數域內的運算間的對應關系。表1和表2分別列出了最常用的一些函數變換對和運算變換性質。