四臂電橋的基本原理和平衡條件

　　交流經典電橋中，四臂電橋是最基本的電橋線路，它是對比直流四臂電橋（通常稱為單電橋或惠斯登電橋）的結構而發展出來的。為了較好地理解交流四臂電橋的基本原理，現將交流四臂電橋和直流四臂電橋的某些異同點作一簡單的比較。兩種四臂電橋的電路及各支路元件符號分別表示在圖2-3中。

　　兩種電橋的相同點有：第一，電路的基本結構形式相同。除了一個電源，一個指零儀支路之外，都有四個橋臂和四個頂點。從電路觀點來看，它們都具有六條支路、三個網孔、四個節點。因此當應用電路的一些基本原理去建立方程組時所得到的方程組的形式也將是相同的。第二，這兩種電橋，當指零儀指零時，它們實質上都是反映兩對相鄰橋臂上電壓降比值的等量關系。因此電橋的平衡將不受電源電壓波動的影響。

　　兩種電橋的不同點可以從下列兩方面來說明。第一，各支路元件的性質不同。交流電橋除了需要用交流電源代替直流電源供電之外，并需以某種合適的交流指零儀（報動檢流計、耳機、示波器等）代替直流磁電系檢流計。另外交流電橋各橋臂一般具有阻抗性質（由電阻、電感和電容元件單獨或進行簡單的串并聯方式所組成），而直流電橋的橋臂只具有電阻性，第二，由于交流電橋的橋臂是阻抗，因此不能像直流電橋那樣，只是要求橋臂上的電壓降數值進行平衡，而必須同時對橋臂上電壓降的相位角進行平衡。換言之，不僅在橋臂間電壓的數量關系要滿足平衡條件，而且相位角之間也要求滿足平衡條件。為此，在橋臂中必須有不少于兩個可調參數。

　　交流四臂電橋的基本原理和平衡條件可敘述如下。電橋通常是用正弦交流電源供電，所以我們可以應用相量分析法來描繪橋路的性能。圖2-3（ a）中正弦電源的電壓相量為Us，四個橋臂阻抗分別用Z1.Z2.Z3和Z4，表示，D為指零儀。一般情況下電源支路和指零儀支路都可能存在著阻抗，它們可分別用Zs和Zd來表示。

　　為了說明電橋的基本原理，可以運用電路理論的某種分析方法來列方程。在列方程之前，有必要重復說明電橋平衡的定義。眾所周知，當電橋平衡時，圖2-3中的c和d兩電橋頂點是等電位的，即該支路兩端的電壓降為零，也就是指零儀支路中將沒有電流流過（即Id=0）。

　　電橋原理和平衡條件的分析方法很多，為簡明起見，我們選用橋臂電壓降平衡的方法來分析。根據指零儀支路兩端等電位的條件，橋臂阻抗Z1上的電壓降與阻抗Z4上的電壓降應相等，Z2上的電壓降與Z3上的電壓降相等。即U1=U4，U2=U3。因此，ID為零。由分壓公式可得：

　　對于其體電橋線路，將實際阻坑參數代入式中就可找出各參數間的相互關系。式（2-1）是由基本原理推導而來的平衡條件。此復數方式可用直角坐標形式或指數形式來表示。兩種形式分別為：

　　式（2-2）的求解是將方程兩邊實數部分和虛數部分分別相等。即

　　這就是四臂電橋平衡時電阻和電抗之問必須滿足的條件。從這里還可看到，當所有的電抗均為零值的特殊情況下，平衡條件就變為交流電阻電橋的平衡條件，這與直流單電橋的平衡條件（R1R3 =R2R4）是相同的（可參閱圖2-3，）。上述直角坐標形式的平衡條件在電路參數的測量中是非常有用的。

　　式（（2-3）的指數形式（或稱極坐標形式）方程可寫成：

　　這是四臂電橋平衡條件的另一種形式。顯然，要使電橋平衡，不僅電橋兩組相對橋臂阻抗的幅值的乘積應該相等，而且其相應的阻抗角之和也應該相等。如果橋臂的幅值之問能滿足上述關系，而輻角條件不能滿足的話，則仍然不可能使電橋達到平衡。當四個橋臂均為電阻時，各橋臂相應的阻抗角（輻角）為零，此時平衡條件方程式（2-4）或式（2-5）就變為一個，即R1R3=R2R4指數形式的平衡條件對于設計電橋或組合自接電橋是十分有用的。從使用的角度來看，這種形式可以非常直觀地指導平衡調節

　　過程四臂電橋各橋臂有時是簡單地串聯或并聯。對于并聯方式用導納代替阻抗將會更加方便。當方程式Z1Z3 =Z2Z4用導納形式表示時，可以寫成

　　這里輻角仍然是原來的阻抗角，因為對于同一個元件上的導納角數值上等于阻抗角，僅僅差一個負號，這些負號將在方程兩邊消去，因此對輻角平衡條件言，式（2-7）與（2-5）是一致的。

　　對于不同參數的橋臂，從以上這些基本平衡條件出發，可以得到各種具體四臂電橋的平衡條件。推導出各種電橋平衡條件的目的是為了尋求未知參數和已知參數之間的關系，以便于電橋根據橋臂已知讀數直接或間接地求得未知的電路參數。例如，某種類型的四臂電橋（歐文電橋）如圖2-4所示，若R1和L1為未知的待測參數，其它各臂參數均為已知，

? ? ? ? ? ? 則根據式（（2-2）對于具體的橋臂參數有：

　　令式（2-8）的兩邊的實部和虛部分別相等，就可解出未知的參

　　教R1和L1：

　　交流四臂電橋基本原理實際上是橋臂上電壓降的平衡原理，通常的經典電橋都是利用這一基本原理來構成的。在近代交流電橋領域中，感應耦合比率臂電橋也是利用電壓降平衡的原理，它們是在經典四臂電橋原理的基礎上發展起來的，為了便于今后分析新型電橋，有必要對四臂電橋電壓平衡的實質問題作進一步探討。

　　四臂電橋的平衡是通過電橋橋臂阻抗上電流所產生的電壓降來實現的。如圖2-5所示，電橋平衡時U1=U4和U2= U3，各橋臂上電壓降、電流和阻抗之間的關系可由橋臂支路特性來確定。對圖2-5所示的各支路均可各自寫為U = ZI結合這個關系式，當電橋用來測量阻抗參數時，可以利用兩個相鄰橋臂阻杭的比值與另外兩個相鄰橋臂上電壓或電流的比值之間的等量關系（即阻抗比等于電壓比或電流比），來作為今后組成新型電橋的理論基礎。現將這種概念說明如下：

　　（1）阻抗比值等于電壓比值

　　為了突出電壓比的概念，暫不畫出原來電源支路，如圖2-6所示。令Z1和Z2分別作為已知的標準阻抗Zn和未知的被測阻抗zx。而把電橋其它兩個橋臂阻坑分別用可調電壓源U2和U4來代替。由于電橋平衡的實質是電壓降的平衡。所以上述情況并不會影響電橋的平衡。當電橋平衡時：

　　而U1和U2分別是I1和I2在Z1和z2上所產生的電壓降。因此

　　這就是某對相鄰橋臂阻抗比值等于另一對相鄰橋臂電壓比值的概念。

　　（2）阻抗比值等于電流 （反）比值

　　若將四臂電橋的阻抗Z2和Z3分別作為已知的標準阻抗Zn，和未知的被測阻抗Zx而把其他兩個橋臂阻抗分別用可調電流源I1和I4來代替，如圖2-7所示。則當電橋平衡時，兩個電流源的兩端電壓降U1和U4應該相等，Z2和Z3上的電壓降也應該是相等的。即

　　這就是某一對相鄰橋臂阻抗比值等于另一對相鄰橋臂電流比值 （反比）的概念。

　　式（2-10）又可寫為