歐拉定理
在數學及許多分支中都可以見到很多以歐拉命名的常數、公式和定理。在數論中,歐拉定理(Euler Theorem,也稱費馬-歐拉定理或歐拉函數定理)是一個關于同余的性質。歐拉定理得名于瑞士數學家萊昂哈德·歐拉,該定理被認為是數學世界中最美妙的定理之一。歐拉定理實際上是費馬小定理的推廣。此外還有平面幾何中的歐拉定理、多面體歐拉定理(在一凸多面體中,頂點數-棱邊數+面數=2)。西方經濟學中歐拉定理又稱為產量分配凈盡定理,指在完全競爭的條件下,假設長期中規模收益不變,則全部產品正好足夠分配給各個要素。另有歐拉公式。
1、初等數論中的歐拉定理: 對于互質的整數a和n,有a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
證明:
首先證明下面這個命題:
對于集合Zn={x1,x2,。。。,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且與n互素的數,即n的一個化簡剩余系,或稱簡系,或稱縮系),考慮集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),。。。,a*xφ(n)(mod n)}
則S = Zn
1) 由于a,n互質,xi也與n互質,則a*xi也一定于p互質,因此任意xi,a*xi(mod n) 必然是Zn的一個元素
2) 對于Zn中兩個元素xi和xj,如果xi ≠ xj則a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n),這個由a、p互質和消去律可以得出。所以,很明顯,S=Zn既然這樣,那么
?。╝*x1 × a*x2×。。。×a*xφ(n))(mod n)
= (a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × 。。。 × a*xφ(n)(mod n))(mod n)
= (x1 × x2 × 。。。 × xφ(n))(mod n)
考慮上面等式左邊和右邊
左邊等于(a*(x1 × x2 × 。。。 × xφ(n))) (mod n)
右邊等于x1 × x2 × 。。。 × xφ(n))(mod n)
而x1 × x2 × 。。。 × xφ(n)(mod n)和n互質
根據消去律,可以從等式兩邊約去,就得到:a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
推論:對于互質的數a、n,滿足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)
費馬定理:
a是不能被質數p整除的正整數,則有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
證明這個定理非常簡單,由于φ(p) = p-1,代入歐拉定理即可證明。
同樣有推論:對于不能被質數p整除的正整數a,有a^p ≡ a (mod p) 2、平面幾何里的歐拉定理:(1) (Euler定理)設三角形的外接圓半徑為R,內切圓半徑為r,外心與內心的距離為d,則d2=R2-2Rr.
證明:如右下圖,O、I分別為⊿ABC的外心與內心.
連AI并延長交⊙O于點D,由AI平分DBAC,故D為弧BC的中點.
連DO并延長交⊙O于E,則DE為與BC垂直的⊙O的直徑.
由圓冪定理知,R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID.(作直線OI與⊙O交于兩點,即可用證明)
但DB=DI(可連BI,證明DDBI=DDIB得),故只需證2Rr=IA·DB,即2R∶DB=IA∶r 即可.
而這個比例式可由⊿AFI∽⊿EBD證得.故得R2-d2=2Rr,即證.
?。?)四邊形ABCD的兩條對角線AC、BD的中點分別為M、N,則:AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4MN^2.
證明:如右上圖,連接BD、BM,由中線公式有AB^2+BC^2=2(BM^2+AM^2).DA^2+CD^2=2(DM^2+AM^2,又BM^2+DM^2=2(BN^2+MN^2),4AM^2=AC^2, 4BN^2=BD^2,故AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(BM^2+DM^2)
+4AM^2=4BN^2+4MN^2+4AM^2=AC^2+BD^2+4MN^2
注:當A、B、C、D為空間四點時,結論依然成立,且有AB^2+BC^2+CD^2+DA^2≥ AC^2+BD^2,此結論為第四屆美國數學奧林匹克試題
?。劬庉嫳径危輾W拉公式 簡單多面體的頂點數V、面數F及棱數E間有關系
V+F-E=2
這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、棱數特有的規律。
歐拉定理的意義
?。?)數學規律:公式描述了簡單多面體中頂點數、面數、棱數之間特有的規律
(2)思想方法創新:定理發現證明過程中,觀念上,假設它的表面是橡皮薄膜制成的,可隨意拉伸;方法上將底面剪掉,化為平面圖形(立體圖→平面拉開圖)。
?。?)引入拓撲學:從立體圖到拉開圖,各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關的量發生了變化,而頂點數,面數,棱數等不變。
定理引導我們進入一個新幾何學領域:拓撲學。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料(如橡皮波)做成的圖形,拓撲學就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質。
?。?)提出多面體分類方法: 在歐拉公式中, f (p)=V+F-E 叫做歐拉示性數。歐拉定理告訴我們,簡單多面體f (p)=2。 除簡單多面體外,還有非簡單多面體。例如,將長方體挖去一個洞,連結底面相應頂點得到的多面體。它的表面不能經過連續變形變為一個球面,而能變為一個環面。其歐拉示性數f (p)=16+16-32=0,即帶一個洞的多面體的歐拉示性數為0。
?。?)利用歐拉定理可解決一些實際問題如:為什么正多面體只有5種? 足球與C60的關系?否有棱數為7的正多面體?等。
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