Curvelet變換是基于傅里葉變換和小波變換的一種改進(jìn)，其特點(diǎn)是有高度的各向異性，具有良好表達(dá)圖形沿邊緣的信息的能力，對(duì)于恢復(fù)形狀的沿邊緣的主要結(jié)構(gòu)和抑制周邊噪聲有其特有優(yōu)勢(shì)。

　　其過程為

　　這和傳統(tǒng)的DFT及小波變換的處理過程類似，把圖表中的curvelet換成DFT和wavelet就可以了。

　　Curvelet變換是最近圖像處理較新的一種多尺度幾何變換算法。其發(fā)展歷程在短短十年間：

　　1999年，Candès和Donoho在Ridgelet變換的基礎(chǔ)上提出了連續(xù)曲波（Curvelet）變換——第一代Curvelet變換中的Curvelet99。

　　2002年，Strack、Candès和Donoho提出了第一代Curvelet變換中的Curvelet02。

　　2002年，Candès等人提出了第二代Curvelet變換。

　　2005年，Candès提出了兩種基于第二代Curvelet變換理論的快速離散實(shí)現(xiàn)方法：

　　1）非均勻空間抽樣的二維FFT算法（Unequally-Spaced Fast Fourier Transform，USFFT）；

　　2）Wrap算法（Wrapping-Based Transform）

　　與小波變換類似，Curvelet變換同樣有其對(duì)應(yīng)公式。Curvelet系數(shù)可由下式得到，即信號(hào)與小波函數(shù)內(nèi)積：

　　這里j表示尺度，l表示方向，k表示位移。變換的推導(dǎo)以及原理是個(gè)十分復(fù)雜的過程，這需要有相當(dāng)強(qiáng)的數(shù)學(xué)功底。

　　Curvelet變換原理

　　Curvelet 變換通過對(duì)Radon 域內(nèi)的每一個(gè)投影軸作一維小波分析，并由局部脊波分析得到多尺度結(jié)構(gòu)。設(shè)參量θ是常數(shù)，平移量1是變量，脊波系數(shù)R，（a，b，θ）為

　　然后對(duì)每個(gè)分塊用式（1，2）進(jìn)行脊波分析。上面每步均可逆，經(jīng)過逆變換可得重建圖像。

　　通過Radon域的多角度投影，Curvelet變換明顯加強(qiáng)了目標(biāo)邊界。同時(shí)由于Curvelet變換是多尺度脊波變換的子集，它可以用投影切片定理來實(shí)現(xiàn)：一幅n×n的圖像可表達(dá)成2n條徑向線的積分結(jié)果，對(duì)每條線的投影數(shù)據(jù)計(jì)算一維小波變換，就得到脊波系數(shù)。這樣的Curvelet變換冗余因子達(dá)到16J+1。由于經(jīng)典算法中分塊的徑向抽樣角度恒定，直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換將導(dǎo)致在同一塊內(nèi)數(shù)據(jù)的非均勻抽樣，當(dāng)塊中心附近的抽樣值滿足奈奎斯特抽樣定理要求時(shí)，在塊的邊界部分將出現(xiàn)欠抽樣;而當(dāng)塊邊界部分滿足抽樣定理要求時(shí)，塊中心部分?jǐn)?shù)據(jù)將會(huì)過抽樣，而且塊的尺寸越大，非均勻抽樣的影響就越明顯。因此，在原算法中盡管離散Curvelet變換的實(shí)現(xiàn)較簡(jiǎn)單，但是為了無失真地重構(gòu)圖像，保證塊邊界周圍的抽樣值足夠多，它在塊的中心部分實(shí)施了過抽樣，因此耗時(shí)和冗余度也相應(yīng)增大。

　　下面是對(duì)Curvelet變換的理解：

　　在時(shí)間域：Curvelet變換可以看做是一個(gè)橢圓以內(nèi)積形式依次覆蓋整個(gè)矩陣（指要變換的矩陣），這個(gè)圖在很多地方都出現(xiàn)過。就我個(gè)人的理解詳細(xì)解釋下。

　　這里的橢圓就是Curvelet變換的窗口，相當(dāng)于小波變換的基函數(shù)。其長(zhǎng)軸與短軸關(guān)系為平方關(guān)系，其窗口大小視尺度j而定。與二維小波變換最大的優(yōu)勢(shì)在于Curvelet變換具有方向性。就是在尺度j下，橢圓做完整個(gè)矩陣的內(nèi)積后（即依次覆蓋完整個(gè)矩陣），可得到一組系數(shù)。然后將橢圓進(jìn)行旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌萢再與矩陣做內(nèi)積得到a角度的Curvelet系數(shù)。這樣將橢圓進(jìn)行多次旋轉(zhuǎn)，每旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度就能得到尺度j一個(gè)方向的系數(shù)矩陣。在尺度j下做L次旋轉(zhuǎn)，那么尺度j下就產(chǎn)生L個(gè)角度的系數(shù)矩陣。做完尺度j了接下來做尺度j+1下所有角度，方法同上。

　　如一幅圖像上有一段弧，橢圓長(zhǎng)軸沿著弧方向做覆蓋內(nèi)積得到的系數(shù)就大。這樣就適合做圖像邊緣檢測(cè)。

　　對(duì)于Curvelet變換的Matlab程序包c(diǎn)urvlab可在網(wǎng)上下載。Curvlab包里有Curvelet的快速離散算法的Matlab程序和C++程序。

　　將其添加在Matlab里面：File -》 set path

　　Add Folder 添加好curvlab里相關(guān)*. M文件的路徑。

　　這時(shí)在Matlab里面使用Curvelet的快速變換及反變換函數(shù)：

　　fdct_usfft（）

　　ifdct_usfft（）

　　fdct_wrapping（）

　　ifdct_wrapping（）

　　在Matlab中Curvelet變換后返回的是一個(gè)cell矩陣。這個(gè)矩陣裝著各個(gè)尺度、各個(gè)方向的系數(shù)值。

　　C= fdct_usfft（***）；

　　C{j}表示一個(gè)cell矩陣，裝著尺度j上所有方向的系數(shù)。

　　C{j}{l}就表示是一個(gè)二維矩陣，表示尺度j，方向l上的所有系數(shù)，

　　一般尺度越高，其對(duì)應(yīng)的都是高頻系數(shù)。

　　curvelet matlab示例代碼理解

　　1. fdct_wrapping

　　function C = fdct_wrapping（x， is_real， finest， nbscales， nbangles_coarse）

　　% fdct_wrapping.m - Fast Discrete Curvelet Transform via wedge wrapping - Version 1.0

　　%

　　% Inputs

　　% x M-by-N matrix 輸入為MxN的矩陣

　　%

　　% Optional Inputs

　　% is_real Type of the transform 轉(zhuǎn)化的類型

　　% 0： complex-valued curvelets 復(fù)數(shù)值的曲波變化

　　% 1： real-valued curvelets 實(shí)數(shù)值的曲波變化

　　% ［default set to 0］ 默認(rèn)設(shè)置為0

　　% finest Chooses one of two possibilities for the coefficients at the

　　% finest level： 選擇一種表示方式計(jì)算最優(yōu)級(jí)的系數(shù)

　　% 1： curvelets 曲波變化

　　% 2： wavelets 小波變化

　　% ［default set to 2］ 默認(rèn)設(shè)置為2

　　% nbscales number of scales including the coarsest wavelet level

　　% 包含最粗小波級(jí)在內(nèi)的伸縮數(shù)

　　% ［default set to ceil（log2（min（M，N）） - 3）］

　　% nbangles_coarse

　　% number of angles at the 2nd coarsest level， minimum 8，

　　% 第二粗糙級(jí)的角度數(shù)，最小為8

　　% must be a multiple of 4. ［default set to 16］

　　% 必須為4的倍數(shù)，默認(rèn)為16

　　% Outputs

　　% C Cell array of curvelet coefficients.

　　% C{j}{l}（k1，k2） is the coefficient at

　　% - scale j： integer， from finest to coarsest scale，

　　% 從最佳尺度到最粗尺度

　　% - angle l： integer， starts at the top-left corner and

　　% increases clockwise，

　　% 從左上角開始順時(shí)針增長(zhǎng)

　　% - position k1，k2： both integers， size varies with j

　　% and l.

　　% If is_real is 1， there are two types of curvelets，

　　% ‘cosine’ and ‘sine’。 For a given scale j， the ‘cosine’

　　% coefficients are stored in the first two quadrants （low

　　% values of l）， the ‘sine’ coefficients in the last two

　　% quadrants （high values of l）。

　　%

　　% See also ifdct_wrapping.m， fdct_wrapping_param.m

　　%

　　% By Laurent Demanet， 200412345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243

　　2. DCT基本示例代碼理解

　　% fdct_wrapping_demo_basic.m -- Displays a curvelet both in the spatial and frequency domains.

　　m = 1024;

　　n = 1024;

　　X = zeros（m，n）;

　　%forward curvelet transform

　　disp（‘Take curvelet transform： fdct_wrapping’）;

　　tic; C = fdct_wrapping（X，0，2，8，64）; toc; %tic toc配合使用測(cè)量程序運(yùn)行時(shí)間

　　%specify one curvelet

　　s = 7; %從1開始增大，空間域變細(xì)，頻率域變粗

　　w = 10;%從1（左上角）開始增大，空間域順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與笛卡爾corona相對(duì)應(yīng)

　?。跘，B］ = size（C{s}{w}）;%尺度為s，方向?yàn)閣，的矩陣大小

　　a = ceil（（A+1）/2）;

　　b = ceil（（B+1）/5）;

　　C{s}{w}（a，b） = 1; %該尺度、方向中心位置元素設(shè)置為1

　　%adjoint curvelet transform

　　disp（‘Take adjoint curvelet transform： ifdct_wrapping’）;

　　tic; Y = ifdct_wrapping（C，0）; toc;%進(jìn)行反曲波變化，得到空間域圖像

　　%display the curvelet

　　F = ifftshift（fft2（fftshift（Y）））;

　　subplot（1，2，1）; colormap gray; imagesc（real（Y））; axis（‘image’）; 。。。

　　title（‘a(chǎn) curvelet： spatial viewpoint’）;

　　subplot（1，2，2）; colormap gray; imagesc（abs（F））; axis（‘image’）; 。。。

　　title（‘a(chǎn) curvelet： frequency viewpoint’）;

　　%get parameters

　?。跾X，SY，F(xiàn)X，F(xiàn)Y，NX，NY］ = fdct_wrapping_param（C）;