近年來，Donoho等人提出的Curvelet變換引起了有關研究人員的密切關注尤其在圖像處理領域，它被認為即將成為一項非常有用的新技術Curvelet變換是在研究小波變換的基礎上發展起來的，它克服了小波變換在應用中的不足，顯示出了許多獨到之處眾所周知，在小波變換出現的近20年間，它在信號處理中的應用得到了很大的發展，其地位也日益重要根本上講，這得益于小波變換能夠高效地對一維分段連續信號進行分析對于二維圖像處理，常用的二維小波是一維小波的張量積，采用分離的變換核先對圖像做水平方向的小波變換，然后再進行垂直方向的小波變換，這樣的二維小波變換的基是各向同性的（isotropic），變換系數的局部模極大值只能反映出這個小波系數出現的位置是過邊緣（acrossedge）的，而無法表達沿邊緣（alongedge）的信息，這就使得傳統小波變換在處理二維圖像時表現出一定的局限性針對小波變換的上述缺點，Donoho等人提出Curvelet變換理論，其各向異性特征非常有利于圖像邊緣的高效表示這一特點使得Curvelet變換自1999年問世以來得到了相關研究者的高度重視，在圖像處理和分析中已經取得了很多研究成果本文將扼要介紹Curvelet變換在圖像去噪、圖像增強、圖像融合、圖像恢復等幾個方面的應用，結合研究中實現的部分算法進行實驗說明，并探討它的發展趨勢及一些有待進一步研究的問題

　　curvelet的性質

　　小波變換是一種具有較強時、頻局部分析功能的非平穩信號分析方法成功地應用于信號的特征提取領域，曲波變換作為新一代的多尺度幾何分析工具取得了較好的識別效果，它考慮了尺度、位置、角度信息使其在表達圖像中的曲線時明顯優于小波變換。

　　Curvelet變換各向異性的特點更適合分析圖像中的曲線或直線狀邊緣特征。

　　符合生理學研究指出的“最優”圖像表示方法應該具有的三種特征，多分辨、帶通、具有方向性。

　　Curvelet變換的基本理論

　　如前所述，小波變換在某些應用中長期受到沿邊緣信息表達能力不足的困擾，雖然研究人員提出不少改進方法，但都沒有從本質上進行革新為克服這一局限，1998年Cands提出了Ridgelet變換：對圖像進行Radon變換，即把圖像中的一維奇異性，比如圖像中的直線，映射成Radon域的一個點，然后用一維小波進行點奇異性的檢測，從而有效地解決了小波變換在處理二維圖像時的問題然而，自然圖像中的邊緣線條以曲線居多，對整幅圖像進行單尺度Ridgelet分析并不十分有效，因此需要對圖像進行分塊，使每個分塊中的線條都近似直線，再對每個分塊進行Ridgelet變換，這就是多尺度Ridgelet由于多尺度Ridgelet分析冗余度很大，Donoho等人提出了Curvelet變換：首先對圖像進行子帶分解;然后對不同尺度的子帶圖像采用不同大小的分塊;最后對每個塊進行Ridgelet分析每個子塊的頻率帶寬width、長度length近似滿足關系width=length2這種頻率劃分方式使得Curvelet變換具有強烈的各向異性，而且這種各向異性隨著尺度的不斷縮小呈指數增長研究表明，用有限的系數來逼近一段C2連續的曲線時，Curvelet變換的速度遠遠快于傅里葉變換和小波變換換言之，對此類曲線而言，Curvelet變換是其最稀疏的表示方法總之，Curvelet結合了Ridgelet變換的各向異性特點和小波變換的多尺度特點，因此它的出現對于二維信號分析具有里程碑式的意義

　　下面簡要介紹Curvelets變換的主要步驟

　　上式表明Ridgelet變換是對Radon變換的切片的一維小波分析，其中方向角是固定的，而變量t是小波分析的對象

　　Curvelet變換的數字實現

　　根據上述理論，Starck等人提出了一種Curvelet變換的數字實現算法，其主要步驟為

　　子帶分解采用trous小波算法把圖像分解到不同的子帶

　　分塊每一個子帶加窗處理，而且每隔一個子帶，窗口的寬度增加一倍

　　數字Ridgelet分析對每一個正方塊進行Ridgelet變換其中包括二維傅氏變換、直角坐標轉換成極坐標、在各角度對應直線上分別作一維傅氏逆變換和一維小波變換等幾個中間步驟

　　數字Curvelet逆變換的實現只需將上述步驟逆序進行即可。

　　Curvelet變換的應用

　　由前述的Curvelet變換基本思想及其特性可知，它相對于小波變換的最大特點是具有高度的各向異性，因此具有更強的表達圖像中沿邊緣信息的能力在圖像處理中，邊緣往往是最重要的特征，它對于進一步的處理和分析有著至關重要的意義而在實際情況中，圖像邊緣又常被其他因素削弱，比如為噪聲所掩蓋，等等在這種環境下，Curvelet變換所表達的沿邊緣信息對于恢復圖像主要結構的視覺特征的優勢是不言而喻的下面主要介紹Curvelet變換在圖像去噪、增強、融合、恢復等幾個方面的應用方法及其效果

　　利用Curvelet變換抑制圖像噪聲

　　去除加性噪聲

　　傳統的圖像隨機噪聲消除或抑制的方法可分為頻域濾波方法和空域平滑方法，其缺點是都要損失大量的圖像信息目前較新而且有效的去噪方法是小波域濾波但是小波算法用于圖像去噪有內在的局限性，因為對圖像進行二維小波變換以后，重要邊緣上的系數即使在很精細的尺度下也很大，這意味著要重建圖像邊緣，就必須保留大量的小波系數根據統計原理，數據的精簡與其精確性之間有矛盾，即便取二者之間最好的折衷，仍將導致較高的均方誤差由于Curvelet變換能用極少的非零系數精確表達圖像邊緣，因此可以在保證較低的均方誤差基礎上，達到較理想的圖像數據的精簡性與精確性的平衡，從而體現出它在噪聲環境下優于小波的表達圖像的能力

　　基于Curvelet變換的去噪算法概要：對圖像進行Curvelet變換，然后對每個子帶的變換系數做硬閾值處理，最后進行Curvelet逆變換得到去噪圖像在閾值的選取上，是保留較大的系數，舍棄較小的系數，因為根據Curvelet變換理論，較大的Curvelet系數對應于較強的邊緣，反之為噪聲圖1是我們在實驗中截取的Lena圖像去噪的部分結果，其中圖1（a）為高斯噪聲污染的原圖，圖1（b）為非抽樣小波去噪結果，圖1（c）為Curvelet去噪結果

　　通過對幾幅內嵌高斯白噪聲的標準圖像進行實驗，結果顯示Curvelet算法的峰值信噪比（PSNR）高于多數基于小波的方案，而且Curvelet重建的圖像不會產生像小波重建圖像的沿邊緣的走樣（artifact）如抽樣小波算法會產生邊界扭曲現象并損失大量細節;非抽樣小波的邊界效果雖然略好，但有時仍忽略了某些脊（ridge），還會顯示出一些小尺度的嵌入污點可見即使只是簡單的取硬閾值，Curvelet去噪算法的PSNR與較復雜的小波去噪算法相當甚至更高在中等程度或高噪聲背景下，Curvelet算法的結果圖在視覺上更清晰，特別對于恢復邊緣和微弱的線性及曲線結構非常有效

　　上述去噪方案仍有不足，由于采用的Ridgelet變換有環繞（warparound）現象，影響了Ridgelet變換以直線為單位分析圖像的性質肖小奎等人的解決方案是對一n*n圖像補零至2n*2n個點后再進行離散傅里葉變換，從而避免了進行一維傅里葉反變換時所出現的混迭現象此外，由于Starck等人在去噪時采用了硬閾值，對小波系數的衰減又在頻域中進行，所以去噪后的圖像中呈現出一定的振鈴效應對此，肖小奎等人將頻域中小波系數變換到時域中再進行硬閾值去噪，同時改進了Xu等人提出的子帶相關去噪法，將其與硬閾值法進行了結合實驗證明去除了環繞現象，去噪后的圖像PSNR值和視覺效果都有所改進

　　變化后系數矩陣維度的理解

　　下表顯示了對圖像做C = fdct_wrapping（X，0，2，6，16）;變換后，得到系數C的詳細信息，其中原始圖片大小為512*512。最內層即Coarse是由低頻系數組成的一個矩陣，最外層Fine是高頻系數組成的矩陣。

　　尺度數s的影響

　　下圖顯示了對圖像做C = fdct_wrapping（X，0，2，6，16）;變換后，s=1:6，w=1下的空間域與頻域的圖像。可以看出：

　　1. 隨著s增大，即尺度由最佳尺度變為最粗尺度時，空間域的“針”圖形組件變細，而頻率域的“針”圖像逐漸變粗。這個可以由空間域和頻率域具有一定的對稱性得知，空間域越“胖”，頻率域越“瘦”。

　　2. 尺度s值越大，代表的的越是高頻信息。

　　角度數w的影響

　　下圖顯示了對圖像做C = fdct_wrapping（X，0，2，6，16）;變換后，s=5，w=1:10:60下的空間域與頻域的圖像。可以看出：

　　w=1時，“楔形”位于左上角位置，隨著w增大，“楔形”順時針轉動。由于空間限制，只貼出部分圖片。

　　位置a b（其元素值為1）的影響

　　下圖所示為對原始圖像進行C = fdct_wrapping（X，0，2，total_s，16）;，改變C{5}{1}（a，b）=1;，a b取值變化時所對應空間域與頻率域的圖像，可以看出：

　　a b的改變并不會對頻率域圖像造成影響，而在空間域上“針”狀物體會根據a b的值發生相應的位移。