什么是拉普拉斯變換

　　拉普拉斯變換是工程數學中常用的一種積分變換，又名拉氏變換。拉氏變換是一個線性變換，可將一個有參數實數t（t≥ 0）的函數轉換為一個參數為復數s的函數。拉普拉斯變換在許多工程技術和科學研究領域中有著廣泛的應用，特別是在力學系統、電學系統、自動控制系統、可靠性系統以及隨機服務系統等系統科學中都起著重要作用。

　　公式概念

　　拉普拉斯變換［2］ 是對于t》=0函數值不為零的連續時間函數x（t）通過關系式

　　（式中st為自然對數底e的指數）變換為復變量s的函數X（s）。它也是時間函數x（t）的“復頻域”表示方式。據此，在“電路分析”中，元件的伏安關系可以在復頻域中進行表示，即電阻元件：V=RI，電感元件：V=sLI，電容元件：I=sCV。如果用電阻R與電容C串聯，并在電容兩端引出電壓作為輸出，那么就可用“分壓公式”得出該系統的傳遞函數為H（s）=（1/RC）/（s+（1/RC）），于是響應的拉普拉斯變換Y（s）就等于激勵的拉普拉斯變換X（s）與傳遞函數H（s）的乘積，即Y（s）=X（s）H（s）

　　如果定義：f（t）是一個關于t的函數，使得當t《0時候，f（t）=0；s是一個復變量；mathcal 是一個運算符號，它代表對其對象進行拉普拉斯積分int_0^infty e‘ dt；F（s）是f（t）的拉普拉斯變換結果。

　　則f（t），的拉普拉斯變換由下列式子給出：F（s），=mathcal left =int_ ^infty f（t）’ e‘ dt 　拉普拉斯逆變換，是已知F（s）’ 求解f（t）的過程。用符號 mathcal‘ 表示。

　　拉普拉斯逆變換的公式是：對于所有的t》0，f（t）= mathcal ^ left=frac int_ ^ F（s）’ e‘ds，c’ 是收斂區間的橫坐標值，是一個實常數且大于所有F（s）‘ 的個別點的實部值。

　　為簡化計算而建立的實變量函數和復變量函數間的一種函數變換。對一個實變量函數作拉普拉斯變換，并在復數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，往往比直接在實數域中求出同樣的結果在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數方程來處理，從而使計算簡化。在經典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優點，是可采用傳遞函數代替微分方程來描述系統的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性（見信號流程圖、動態結構圖）、分析控制系統的運動過程（見奈奎斯特穩定判據、根軌跡法），以及綜合控制系統的校正裝置（見控制系統校正方法）提供了可能性。用 f（t）表示實變量t的一個函數，F（s）表示它的拉普拉斯變換，它是復變量s=σ+j&owega；的一個函數，其中σ和&owega; 均為實變數，j2=-1。F（s）和f（t）間的關系由下面定義的積分所確定：

　　如果對于實部σ 》σc的所有s值上述積分均存在，而對σ ≤σc時積分不存在，便稱 σc為f（t）的收斂系數。對給定的實變量函數 f（t），只有當σc為有限值時，其拉普拉斯變換F（s）才存在。習慣上，常稱F（s）為f（t）的象函數，記為F（s）=L［f（t）］；稱f（t）為F（s）的原函數，記為f（t）=L-1［F（s）］。

　　函數變換對和運算變換性質 　利用定義積分，很容易建立起原函數 f（t）和象函數 F（s）間的變換對，以及f（t）在實數域內的運算與F（s）在復數域內的運算間的對應關系。表1和表2分別列出了最常用的一些函數變換對和運算變換性質。

　　拉普拉斯變化的存在性：為使F（s）存在，積分式必須收斂。有如下定理：

　　如因果函數f（t）滿足：（1）在有限區間可積，（2）存在σ0使|f（t）|e-σt在t→∞時的極限為0，則對于所有σ大于σ0，拉普拉斯積分式絕對且一致收斂。

　　基本性質：線性性質、微分性質、積分性質、位移性質、延遲性質、初值定理與終值。

　　應用領域定理

　　有些情形下一個實變量函數在實數域中進行一些運算并不容易，但若將實變量函數作拉普拉斯變換，并在復數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，

　　在經典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優點，是可采用傳遞函數代替常系數微分方程來描述系統的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性、分析控制系統的運動過程，以及提供控制系統調整的可能性。

　　應用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數方程，使問題得以解決。在工程學上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個信號從時域上，轉換為復頻域（s域）上來表示；在線性系統，控制自動化上都有廣泛的應用。

　　拉普拉斯變換的物理意義是什么？

　　從正則系綜配分函數切換到微正則系綜態密度或者說譜密度的時候，所用的是拉普拉斯逆變換；反之是拉普拉斯變換。其中核的指數上的復數也很好理解，它經常出現于統計力學中的Lee-Yang理論（由李政道和楊振寧于1952年通過兩篇論文建立）：即復化之后的溫度，化學勢或者外磁場。

　　他們通過這種復化的方法推導出出了在熱力學極限下，系統發生一級或者連續相變的條件（原文是對于自旋系統的）：就像復分析里的branch cut一樣，Lee-Yang零點在復平面上聚集成一條線，只有取實數值的物理量在相變是跨過這條線，才會發生一級相變。這些零點解釋了為什么一個明明是解析函數的配分函數在相變時卻能導致發散的物理量，也給出了一個no-go theorem： 不取熱力學極限就不會發生相變；至今這套理論還是研究傳統非拓撲相變的利器。有人會說復的物理學量只是數學技巧罷了，但近來有實驗表明我們是能觀測到Lee-Yang零點的， 跑偏一點，這套理論還衍生出Lee-Yang edge，即高于相變溫度時，上述的Lee-Yang零點匯聚線終止于兩個臨界點，而用于描述該臨界點附近復物理量的理論是一個central charge為-22/5的2維共形場論，叫非幺正minimal model.

　　因此拉普拉斯變換在研究3維純量子引力（不含費米物質）特別是黑洞熵以及黑洞Hawking-Page相變的時候，經常出現在半經典近似中，因為如果假設AdS/CFT成立，復化的熱力學量既屬于2維漸進邊界上的引力邊界條件，也是邊界2維共形場論的參數。可以參照下列Witten和尹希的文章（Maloney-Witten里（5.7）式附近把拉普拉斯逆變換寫成拉普拉斯變換了）。

　　PS： Lee-Yang的原文里只考慮了復化的外磁場和化學勢，叫做field-driven transition；復溫度是1965年Michael E. Fisher引入的，叫temperature-driven transition，是一個nontrivial的推廣，注意不要和有限溫度場論中的虛時間混淆。

　　數學上，其實把拉普拉斯變換看成Borel變換的推廣比看成是傅里葉變換的推廣更合適，因為后者的指數上也沒有虛數單位，專治非收斂級數，這和拉普拉斯變換代替傅里葉變換處理非收斂信號有異曲同工之妙。在物理中的用途嘛，最近在非微擾量子場論和弦論的resurgent analysis里火得不行呀