什么是巴特沃斯濾波器

　　巴特沃斯濾波器是電子濾波器的一種。巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶的頻率響應曲線最平滑。這種濾波器最先由英國工程師斯蒂芬·巴特沃斯（StephenButterworth）在1930年發表在英國《無線電工程》期刊的一篇論文中提出的。

　　巴特沃斯濾波器的特性

　　巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶內的頻率響應曲線最大限度平坦，沒有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。在振幅的對數對角頻率的波特圖上，從某一邊界角頻率開始，振幅隨著角頻率的增加而逐步減少，趨向負無窮大。

　　一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻6分貝，每十倍頻20分貝。二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12分貝、三階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻18分貝、如此類推。巴特沃斯濾波器的振幅對角頻率單調下降，并且也是唯一的無論階數，振幅對角頻率曲線都保持同樣的形狀的濾波器。只不過濾波器階數越高，在阻頻帶振幅衰減速度越快。其他濾波器高階的振幅對角頻率圖和低級數的振幅對角頻率有不同的形狀。

　　圖1展示了不同階的幅頻特性。可見階數n越高，其幅頻特性越好，低頻檢測信號保真度越高。

　　巴特沃斯與貝塞爾（Bessel）、切比雪夫（Chebyshev）濾波器的幅頻特性、相位特性如圖2、圖3所示。

　　從圖2、圖3可以看出，巴特沃斯濾波器在線性相位、衰減斜率和加載特性三個方面具有特性均衡的優點，因此在實際使用中已被列為首選。

　　巴特沃斯濾波器原理

　　巴特沃斯型濾波器在現代設計方法設計的濾波器中，是最為有名的濾波器，由于它設計簡單，性能方面又沒有明顯的缺點，又因它對構成濾波器的元件Q值較低，因而易于制作且達到設計性能，因而得到了廣泛應用。其中，巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶的頻率響應曲線最平滑。

　　濾波器的截止頻率的變換是通過先求出待設計濾波器的截止頻率與基準濾波器的截止頻率的比值M，再用這個M去除濾波器中的所有元件值來實現的，其計算公式如下：M=待設計濾波器的截止頻率/基準濾波器的截止頻率。

　　濾波器的特征阻抗的變換是通過先求出待設計濾波器的特征阻抗與基準濾波器的特征阻抗的比值K，再用這個K去乘基準濾波器中的所有電感元件值和用這個K去除基準濾波器中的所有電容元件值來實現的。

　　巴特沃斯濾波器優點

　　巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶內的頻率響應曲線最大限度平坦，沒有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。在振幅的對數對角頻率的波得圖上，從某一邊界角頻率開始，振幅隨著角頻率的增加而逐漸減少，趨向負無窮大。

　　一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻6分貝，每十倍頻20分貝。二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12分貝，三階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻18分貝，如此類推。巴特沃斯濾波器的振幅對角頻率單調下降，并且也是唯一的無論階數、振幅對角頻率曲線都保持同樣的形狀的濾波器。只不過濾波器階數越高，在阻頻帶振幅衰減速度越快。其他濾波器高階的振幅對角頻率圖和低級數的振幅對角頻率有不同的形狀。

　　巴特沃斯濾波器是濾波器的一種設計分類，類同于切比雪夫濾波器，它有高通，低通，帶通，高通，帶阻等多種濾波器。它在通頻帶內外都有平穩的幅頻特性，但有較長的過渡帶，在過渡帶上很容易造成失真，我在調用MATLAB里的巴特沃斯濾波器做仿真時，信號總會在第一個周期略微有些失真，但往后的幅頻特性就非常的好。

　　巴特沃斯濾波器傳遞函數

　　巴特沃斯低通濾波器可用如下振幅的平方對頻率的公式表示：

　　其中，=濾波器的階數

　　=截止頻率=振幅下降為-3分貝時的頻率

　　=通頻帶邊緣頻率

　　在通頻帶邊緣的數值

　　巴特沃斯、切比雪夫、貝塞爾濾波器的區別

　　巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾波器、貝塞爾濾波器均包括模擬濾波器和數字濾波器兩種形式。

　　數字濾波器是指完成信號濾波處理功能的，用有限精度算法實現的離散時間線性非時變系統，其輸入是一組數字量，其輸出是經過變換的另一組數字量。因此，它本身即可以是用數字硬件裝配成的一臺完成給定運算的專用數字計算機，也可以是將所需運算編成程序，讓通用計算機來執行。數字濾波器具有穩定性高、精度高、靈活性大等優點。隨著數字技術的發展，用數字技術實現濾波器的功能越來越受到人們的注意和廣泛的應用。

　　巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶內的頻率響應曲線最大限度平坦，沒有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。 在振幅的對數對角頻率的波特圖上，從某一邊界角頻率開始，振幅隨著角頻率的增加而逐步減少，趨向負無窮大。巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無論在通帶內還是阻帶內都是頻率的單調函數。因此，當通帶的邊界處滿足指標要求時，通帶內肯定會有裕量。所以，更有效的設計方法應該是將精確度均勻的分布在整個通帶或阻帶內，或者同時分布在兩者之內。這樣就可用較低階數的系統滿足要求。這可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數來達到。

　　貝賽爾（Bessel）濾波器是具有最大平坦的群延遲（線性相位響應）的線性過濾器。貝賽爾濾波器常用在音頻天橋系統中。模擬貝賽爾濾波器描繪為幾乎橫跨整個通頻帶的恒定的群延遲，因而在通頻帶上保持了被過濾的信號波形。貝塞爾（Bessel）濾波器具有最平坦的幅度和相位響應。帶通（通常為用戶關注區域）的相位響應近乎呈線性。Bessel濾波器可用于減少所有IIR濾波器固有的非線性相位失真。

　　切比雪夫濾波器是在通帶或阻帶上頻率響應幅度等波紋波動的濾波器，振幅特性在通帶內是等波紋。在阻帶內是單調的稱為切比雪夫I型濾波器；振幅特性在通帶內是單調的，在阻帶內是等波紋的稱為切比雪夫II型濾波器。采用何種形式的切比雪夫濾波器取決于實際用途。

　　當濾波器具有相同階數時：

　　巴特沃斯濾波器通帶最平坦，阻帶下降慢。

　　切比雪夫濾波器通帶等紋波，阻帶下降較快。

　　貝塞爾濾波器通帶等紋波，阻帶下降慢。也就是說幅頻特性的選頻特性最差。但是，貝塞爾濾波器具有最佳的線性相位特性。

　　此外，還有橢圓濾波器，橢圓濾波器在通帶等紋波（阻帶平坦或等紋波），阻帶下降最快。