梯度下降算法的公式非常簡單，”沿著梯度的反方向（坡度最陡）“是我們日常經驗得到的，其本質的原因到底是什么呢？為什么局部下降最快的方向就是梯度的負方向呢？也許很多朋友還不太清楚。沒關系，接下來我將以通俗的語言來詳細解釋梯度下降算法公式的數學推導過程。

下山問題

假設我們位于黃山的某個山腰處，山勢連綿不絕，不知道怎么下山。于是決定走一步算一步，也就是每次沿著當前位置最陡峭最易下山的方向前進一小步，然后繼續沿下一個位置最陡方向前進一小步。這樣一步一步走下去，一直走到覺得我們已經到了山腳。這里的下山最陡的方向就是梯度的負方向。

首先理解什么是梯度？通俗來說，梯度就是表示某一函數在該點處的方向導數沿著該方向取得最大值，即函數在當前位置的導數。

上式中，θ是自變量，f(θ)是關于θ的函數，θ表示梯度。

如果函數f(θ)是凸函數，那么就可以使用梯度下降算法進行優化。梯度下降算法的公式我們已經很熟悉了：

其中，θo是自變量參數，即下山位置坐標，η是學習因子，即下山每次前進的一小步（步進長度），θ是更新后的θo，即下山移動一小步之后的位置。

一階泰勒展開式

這里需要一點數學基礎，對泰勒展開式有些了解。簡單地來說，一階泰勒展開式利用的就是函數的局部線性近似這個概念。我們以一階泰勒展開式為例：

不懂上面的公式？沒有關系。我用下面這張圖來解釋。

凸函數f(θ)的某一小段[θo,θ]由上圖黑色曲線表示，可以利用線性近似的思想求出f(θ)的值，如上圖紅色直線。該直線的斜率等于f(θ)在θo處的導數。則根據直線方程，很容易得到f(θ)的近似表達式為：

這就是一階泰勒展開式的推導過程，主要利用的數學思想就是曲線函數的線性擬合近似。

梯度下降數學原理

知道了一階泰勒展開式之后，接下來就是重點了！我們來看一下梯度下降算法是如何推導的。

先寫出一階泰勒展開式的表達式：

其中，θ?θo是微小矢量，它的大小就是我們之前講的步進長度η，類比于下山過程中每次前進的一小步，η為標量，而θ?θo的單位向量用v表示。則θ?θo可表示為：

特別需要注意的是，θ?θo不能太大，因為太大的話，線性近似就不夠準確，一階泰勒近似也不成立了。替換之后，f(θ)的表達式為：

重點來了，局部下降的目的是希望每次θ更新，都能讓函數值f(θ)變小。也就是說，上式中，我們希望f(θ)