摘要：本文向廣大電路設計人員介紹了一種利用Excel電子表對電路進行全面的統計分析的簡單方法，幾乎適用于任何電路。本文介紹的方法對于深入了解電路在實際環境中的運行情況，確保較高的良率很有幫助。

引言

設計在實際環境中運行良好的電路具有一定的挑戰性。僅僅以電路設計符合規范為目標還不能滿足實際要求，準確預測電路在一定范圍工作條件下的運行狀況非常重要，包括元件值的實際變化。在深入了解這些運行狀況的基礎上，設計人員可以有效地選擇電路和元件，以達到所要求的制造容限。

構建、測試和支持能夠在不同電路參數下運行的電路成本較低。

本文闡述了利用容差分析預測良率，即有多少種以不同組件構建的電路能夠符合規格要求。為了獲得有效的良率分析，必須要擁有：

• 較好的電路模型，包括重要元件、雜散特性等。
• 較好地預計元件值變化的模型
• 合格/不合格的定義或規格

利用這三種輸入，您可以進行一些必要的計算，預測電路良率。根據問題的復雜程度選擇不同的計算工具，還需要評估人員具有敏銳的洞察力。表1對一些方法進行了總結。

表1. 良率分析方法

Yield Analysis Tool	Technique	Best used for
SPICE	Multiple simulations	Brute force proof circuit will work, awkward for gaining intuition
SPICE	SENS sensitivity analysis	Brute force method, good for getting intuition about what components matter
Exact closed-form analysis	Using an equation for the circuit performance calculate sensitivities. Using equations for the component variations and the sensitivities calculate the probability of meeting spec	Very simple problems only, gives good insight into technique
Microsoft Excel, MathCAD	Create cdfs with manufacturing data, model circuit with	Intermediate complexity, can incorporate real world data, gives good intuition into the problem

本文將介紹如何使用Microsoft Excel進行良率分析。

我們討論了概率分布函數等基本的良率分析概念，我們將了解如何按照所要求的概率分布隨機生成元件值。

利用元件值和設計公式確定良率

電路由元器件組成。這些元件組裝后構成電路，運行狀況遵循一定的規則或設計公式。為了進行良率分析，需要了解元件值的變化和設計公式。

例如，對于圖1所示簡單的放大電路，已知R_f和R_g電阻后(假設是一個理想的運算放大器)，可以很容易地計算出該電路的增益。實際應用中，如果數百次地構建該電路，將會發現每次的R_f和R_g元件值均不同。對該電路進行測試時，每次構建電路的增益也不同。

該電路中，元件值的變化源于電阻的容差。增益計算公式為：增益 = - R_f / R_g。例如，如果取R_f = 1kΩ、R_g = 1kΩ，則增益為-1。


圖1. 反相運算放大器示例

最終得到的電路規格可能為：增益 = -1 ± 0.1 V/V。

元件的PDF和CDF

總之，我們無法提前預測某個元件將會出現的數值。但憑借經驗，我們可以預測多數元件的狀況，或多數產品的工作情形。可以利用pdf或概率分布函數描述這種狀況。

pdf是表達隨機變量X的可能取值x與實際數值出現概率的關系曲線或函數。例如，在我們列舉的電路中，可以得出R_f電阻值與一批電阻中出現該電阻值概率的關系。

cdf為累積分布函數，為隨機變量X取一個小于或等于某個x值的概率。即如果得到pdf，可以利用積分計算cdf。您可能采用高斯或正態分布的pdf，由兩個參數定義：平均值(中心值)和標準方差(約等于峰值寬度)。圖2給出了正態分布的pdf和cdf。


圖2. PDF和CDF示例

正態分布與大多數實際情況相吻合，更容易建立數學模型。但是，請務必注意！正態分布可能并不真的代表某種特定情況。例如，如果您正在使用的是20%容差的電阻，可能容差為5%的電阻已全部被篩選出去，并被出售給其他人，您看到的實際pdf如圖3所示。


圖3. 篩選元件的分布情況

按照這種分布，測量電阻與電阻標簽完全相同的概率為零！與使用正態分布的元件電路相比，您的電路所提供的性能會很差。另外，獲得5%電阻的用戶則會得到比較好的工作特性，因為他們所得到的元件的概率分布函數中已經消除了偏差較大的部分。

由此可見，可供選擇的分布函數有許多，而如何選擇分布非常重要。因此，不要局限于正態分布這一種。

在Excel中產生隨機元件值

如果能夠生成一系列隨機數，即可用這些數值代表生產中所使用的電阻值。然后，用這些數值和電路公式確定電路的增益，將其與規格要求相對比，計算良率。下列各圖是我完成的情況。就20次電路構建、±20%的增益誤差而言，良率為80% (每次運行的結果會略有不同)。


圖4. 生成隨機電阻值

上述分析中，每個電阻均使用了均勻分布隨機變量。這種均勻分布下，取值在兩個極限值之間的概率都一樣?？梢允褂脙煞N方法生成電阻值：選擇Tools | Data Analysis | Random Number Generation，或使用RAND()函數(請參考RANDBETWEEN() )。如果采用RAND()函數，電子表格每次計算便重新產生一個數值(按F9鍵)。

不幸的是，大多數元件所遵循的概率分布并非均勻分布。但是，這類分析在估計最差性能時較為快速和有效。

Excel提供了大量其它函數，可以幫助我們生成更為真實的pdf。我們將在下節對其進行介紹，之后敘述利用生產數據生成任意pdf的一些方法。

正態分布PDF和CDF

為了生成一種正態或高斯曲線，我們采用了內置函數NORMDIST()。例如，對于平均值 = 0，標準方差 = 1的正態分布，“=NORMDIST($A7,0,1,FALSE)”返回x = 存儲于單元格A7的概率。

標準方差(通常稱為Σ)描述了pdf函數峰值的寬度，相當于二次求導的極性變化分界點，我們利用該方法生成圖2所示pdf。通過將“FALSE”改變為“TRUE”，可以得到cdf值。

如果沒有更準確的信息，則假設元件的百分比容差為±3標準方差。例如，±10%的元件會具有±10/3的標準偏差，標稱值為±3.33%。

盡管cdf和pdf正確地描述了正態隨機變量，但它們不生成隨機元件值。理想狀態下，我們會傾向于使用類似于“RANDNORM()”的函數，所返回的隨機數符合正態分布。

生成正態分布隨機數

Excel沒有提供RANDNORM()函數，但是一些附加函數提供了這種必要功能。要想生成10個標稱值為1kΩ，具有±20%誤差范圍的電阻值，步驟如下：

1. 平均數 = 1kΩ標稱值，標準方差為1kΩ的±20%除以3 = ±200/3 = ±66.67Ω。
2. 選擇Tools | Data Analysis | Random Number Generation，使用內置函數生成一個數列。對話框如下圖所示。

圖5. 生成隨機數的對話框

注意，我已輸入步驟1中計算得到的平均數和標準方差。輸入數字10，表示要生成的隨機數(值)個數。輸入電子表格中要求Excel輸出值的位置。輸出結果如下：


圖6. Excel生成的隨機元件值

其它有用的內置分布

您可能已經注意到，在Tools | Data Analysis | Random Number對話框中，Excel列舉了多種分布供您選擇。這些分布包括正態分布、均勻分布、二項式分布、伯努利分布、離散分布以及其它幾種分布。前面所述的均勻分布是一種估計最差性能的簡單、有效方法。二項式產生一種只有2個值(例如：1和0)的分布，常見于邏輯電路。一本好的統計學參考書和一些實驗可以幫助選擇正確的分布。如果特定分布于所提供的分布不一致，可以專門制作所需要的隨機數生成器！我們將在下一節對此進行介紹。

生成與生產數據一致的隨機數

有些情況下，無法找到適合的內置函數或標準pdf函數。正如我們篩選電阻中所遇到的情況(圖3)，非標準分布的影響極其明顯。

這種情況下，我們會想要描繪一種分布，利用生產測試數據創建一種分布或者使用計算數據創建一種分布，然后生成符合這種分布的隨機數，以進行良率分析。

創建此類分布以及符合這種分布的隨機數，包括如下幾個步驟(如后面圖7所示)。

1. 測量大量的實際元件或通過計算生成數據。也許能夠在進貨檢驗時獲得這些數據。這種原始數據將被用于創建pdf。
2. 將數據制作成直方圖，并根據采樣總數進行規一化，即所有概率的和為1。這種規一化的直方圖便是我們需要的隨機數的pdf。
3. 對該pdf求積分創建cdf。確認能夠單調達到最大值1。
4. 生成一個介于0和1之間的均勻分布隨機數—y~UY(0,1)。
5. 將該均勻分布隨機數用作cdf上y = P(X ≤ x)時cdf的指數，并記下x。
6. 重復步驟4和5，生成所需要的x隨機值。

圖7. 生成與生產數據一致的隨機數

結論

本文介紹了獲得良率分析所使用的隨機元件數值得產生方法。對于許多常見分布來說，Excel提供了一些快速、簡單的內置函數。對于一些特殊情況，本文提供了一種利用均勻分布隨機數和測量cdf生成任意分布隨機數的簡單方法。