?? ?引言

　　在基于小波變換的圖象壓縮方案中,嵌入式零樹小波 EZW(Embedded Zerotree Wavelets)[1]編碼很好地利用小波系數(shù)的特性使得輸出的碼流具有嵌入特性。近年來,在對EZW改進(jìn)的基礎(chǔ)上，提出了許多新的性能更好的算法,如多級樹集合分裂算法(SPIHT :Set Partitioning In Hierarchical Trees)[2],集合分裂嵌入塊編碼(SPECK：Set Partitioned Embedded bloCK coder),可逆嵌入小波壓縮算法(CREW:Compression with Reversible Embedded Wavelets)[3] 。本文對這些算法進(jìn)行了原理分析、性能比較,說明了嵌入式小波圖象編碼的研究方向。

　　1. 嵌入式零樹小波編碼算法EZW

　　1. 1算法原理:

　　內(nèi)嵌編碼[1](embedded coding)就是編碼器將待編碼的比特流按重要性的不同進(jìn)行排序，根據(jù)目標(biāo)碼率或失真度大小要求隨時結(jié)束編碼;同樣，對于給定碼流解碼器也能夠隨時結(jié)束解碼，并可以得到相應(yīng)碼流截斷處的目標(biāo)碼率的恢復(fù)圖象。內(nèi)嵌編碼中首先傳輸?shù)氖亲钪匾?a target="_blank">信息，也就是幅值最大的變換系數(shù)的位信息。圖1顯示了一個幅度值由大到小排序后的變換系數(shù)的二進(jìn)制列表。表中每一列代表一個變換系數(shù)的二進(jìn)制表示，每一行代表一層位平面，最上層為符號位，越高層的位平面的信息權(quán)重越大，對于編碼也越重要。內(nèi)嵌編碼的次序是從最重要的位(最高位)到最不重要的位(最低位)逐個發(fā)送，直到達(dá)到所需碼率后停止。

　　由圖1可知內(nèi)嵌編碼的輸出信息主要包括兩部分：排序信息和重要象素的位信息。其中，位信息是編碼必不可少的有效信息，對應(yīng)于表中箭頭所劃過的比特位;而排序信息則是輔助信息，按其重要性從左到右排列，反映了重要象素在原圖上的空間位置，用于恢復(fù)原始的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。因此，內(nèi)嵌算法中排序算法的優(yōu)劣和排序信息的處理決定了整個編碼算法的效率。

　　一副圖象經(jīng)過三級小波分解后形成了十個子帶，如圖2所示。小波系數(shù)的分布特點(diǎn)是越往低頻子帶系數(shù)值越大，包含的圖象信息越多，如圖2中的LL3子帶。而越往高頻子帶系數(shù)值越小，包含的圖象信息越少。就是在數(shù)值相同的情況下，由于低頻子帶反映的是圖象的低頻信息，對視覺比較重要，而高頻子帶反映的是圖象的高頻信息，對視覺來說不太重要。這樣對相同數(shù)值的系數(shù)選擇先傳較低頻的系數(shù)的重要比特，后傳輸較高頻系數(shù)的重要比特。正是由于小波系數(shù)具有的這些特點(diǎn)，它非常適合于嵌入式圖象的編碼算法。在JPEG2000標(biāo)準(zhǔn)中以小波變換作為圖象編碼的變換方法。

　　EZW算法利用小波系數(shù)的特點(diǎn)較好地實現(xiàn)了圖象編碼的嵌入功能，主要包括以下三個過程：零樹預(yù)測，用零樹結(jié)構(gòu)編碼重要圖，逐次逼近量化。

　　1) 零樹預(yù)測

　　一副經(jīng)過小波變換的圖象按其頻帶從低到高形成一個樹狀結(jié)構(gòu)，樹根是最低頻子帶的結(jié)點(diǎn)，它有三個孩子分別位于三個次低頻子帶的相應(yīng)位置，見圖2左上角，其余子帶(最高頻子帶除外)的結(jié)點(diǎn)都有四個孩子位于高一級子帶的相應(yīng)位置(由于高頻子帶分辨率增加，所以一個低頻子帶結(jié)點(diǎn)對應(yīng)有四個高頻子帶結(jié)點(diǎn)，即相鄰的2×2矩陣，見圖2)。這樣圖2所示的三級小波分解就形成了深度為4的樹。

　　定義一個零樹的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：一個小波系數(shù)x，對于一個給定的門限T，如果|x|

　　2) 用零樹結(jié)構(gòu)編碼重要圖

　　重要圖包括三種要素：即重要系數(shù)、孤立零和零樹根。其中，對于一個給定的閾值T，如果系數(shù)X本身和它的所有的子孫都小于T，則該點(diǎn)就稱為零樹根;如果系數(shù)本身小于T，但其子孫至少有一個大于或等于T，則該點(diǎn)就稱為孤立零點(diǎn)。在編碼時分別用三種符號與之對應(yīng)。當(dāng)編碼到最高分辨率層的系數(shù)時，由于它們沒有子孫，零樹根不再存在，只需其余兩種符號即可。為了有利于內(nèi)嵌編碼，將重要系數(shù)的符號與重要圖一起編碼，這樣就要使用四種符號：零樹根、孤立零、正重要系數(shù)、負(fù)重要系數(shù)。

　　3) 逐次逼近量化(Successive-Approximation Quantization,SAQ)

　　內(nèi)嵌編碼的核心在于采用了逐次逼近的量化方法(SAQ)。SAQ按順序使用了一系列閾值T0、T1，┄，TN-1來判決重要性，其中Ti=Ti-1/2，初始閾值T0按如下條件選擇，∣Xj∣<2T0,其中Xj表示所有變換系數(shù)。

　　在編(譯)碼過程中，始終保持著兩個分離的列表：主表和輔表。主表對應(yīng)于編碼中的不重要的集合或系數(shù)，其輸出信息起到了恢復(fù)各重要值的空間位置結(jié)構(gòu)的作用，而輔表是編碼的有效信息，輸出為各重要系數(shù)的二進(jìn)制值。編碼分為主、輔兩個過程：在主過程中，設(shè)定閾值為Ti,按上述原理對主表進(jìn)行掃描編碼，若是重要系數(shù)，則將其幅值加入輔表中，然后將該系數(shù)在數(shù)組中置為零，這樣當(dāng)閾值減小時，該系數(shù)不會影響新零樹的出現(xiàn);在輔過程中，對輔表中的重要系數(shù)進(jìn)行細(xì)化，細(xì)化過程類似于比特平面編碼。對閾值Ti來說，重要系數(shù)的所在區(qū)間為[Ti,2Ti]，若輔表中的重要系數(shù)位于[Ti，3Ti/2],則用符號“0”表示，否則用符號“1”表示。編碼在兩個過程中交替進(jìn)行，在每個主過程前將閾值減半。譯碼時系數(shù)的重構(gòu)值可以位于不確定區(qū)間的任意處，如果采用MMSE準(zhǔn)則，則重構(gòu)值應(yīng)位于不確定區(qū)間的質(zhì)心處。實際中為簡單起見使用區(qū)間的中心作為重構(gòu)值。

　　1. 2算法分析：

　　研究表明，在圖象的低比特率編碼中，用來表示非零系數(shù)所在位置的開銷遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于用來表示非零系數(shù)值的開銷。零樹結(jié)構(gòu)正是一種描述圖象經(jīng)過小波變換后非零數(shù)值位置的有效方法。EZW的編碼思想是不斷掃描變換后的圖象，生成多棵零樹來對圖象編碼：一棵零樹的形成需要對圖象進(jìn)行兩次掃描。在生成第一棵零樹時，首先找出變換后圖象的最大絕對值系數(shù)，用它對應(yīng)的T0作初始閾值，對圖象進(jìn)行第一次掃描。將圖象中絕對值小于閾值系數(shù)都看作零，然后按前面的符號定義形成零樹。在第二次掃描中，對那些絕對值大于閾值的結(jié)點(diǎn)(POS和NEG)按其絕對值是否大于閾值的1.5倍附加一個比特1或0來描述其精度。這樣做的目的是減小非零結(jié)點(diǎn)系數(shù)值的變化范圍，使其適應(yīng)下一次閾值減半后的比特附加(具體細(xì)節(jié)見文[1])。而后將閾值減半，再經(jīng)兩次掃描生成第二棵零樹，在第一次掃描生成零樹時，以前已經(jīng)大于閾值的結(jié)點(diǎn)不再考慮，而第二次掃描附加比特時則要考慮以前數(shù)值較大的結(jié)點(diǎn)以保證精度。如此重復(fù)下去，不斷生成零樹，直到達(dá)到需要的編碼精度為止。

　　研究發(fā)現(xiàn)EZW算法存在的問題是：

　　(1).由于編碼時它形成多棵零樹，因而要多次掃描圖象，造成效率很低。而且每一棵樹必須在前一棵樹形成之后才能形成，所以也很難用并行算法優(yōu)化。

　　(2).對所有的頻域進(jìn)行等同重要度的編碼，不能充分利用小波變換的特點(diǎn)。改進(jìn)辦法之一是把最低頻子圖與其它子圖分開處理，對其進(jìn)行單獨(dú)的無失真編碼。

　　(3).在一棵零樹中包含的元素越多，則越有利于數(shù)據(jù)壓縮。在EZW算法中存在這樣的樹間冗余，在SPIHT算法中則進(jìn)一步利用了這種樹間冗余。

　　(4).通過對小波系數(shù)的分析發(fā)現(xiàn)，在同一子帶中相鄰元素間有一定的相關(guān)性，尤其在高頻子帶存在大量的低值元素，所以可以通過子帶中的集合把大量的這種低值元素組織到一起，達(dá)到數(shù)據(jù)壓縮的目的。而EZW算法并沒有充分利用這種相關(guān)性。在SPECK算法中利用這種相關(guān)性達(dá)到了數(shù)據(jù)壓縮的目的。

　　2. 多級樹集合分裂算法 SPIHT

　　原理分析：

　　EZW算法是一種基于零樹的嵌入式圖象編碼算法，雖然在小波變換系數(shù)中，零樹是一個比較有效的表示不重要系數(shù)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，但是，在小波系數(shù)中還存在這樣的樹結(jié)構(gòu)，如圖2，即它的樹根是重要的，除樹根以外的其它結(jié)點(diǎn)是不重要的。對這樣的系數(shù)結(jié)構(gòu)零樹就不是一種很有效的表示方法。A.Said和W.A.Pearlman根據(jù)Shapiro零樹編碼算法(EZW)的基本思想，提出了一種新的且性能更優(yōu)的實現(xiàn)方法，即基于分層樹集合分割排序(Set Partitioning in Hierarchical Trees,SPIHT)的編碼算法。它采用了空間方向樹(SOT：spatial orientation tree)、集合D(i,j)和L(i,j)更有效地表示這樣的系數(shù)結(jié)構(gòu)，從而提高了編碼效率。

　　1)SPIHT算法中用到的概念

　　算法中的一些符號和概念說明如下：

　　● H：空間方向樹所有根結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)集合;

　　● Z(i,j)：點(diǎn)(i,j)及其所有的后代的坐標(biāo)集合，即指空間方向樹;

　　● D(i,j)：點(diǎn)(i,j)的所有后代(子孫)的坐標(biāo)集合，不包括(i,j)點(diǎn)本身;

　　● O(i,j)：點(diǎn)(i,j)的直接后代(兒子)的坐標(biāo)集合，在分層塔形結(jié)構(gòu)的最高層H有O(i,j)={(i+LL,j)，(i，j+LL)，(i+LL,j+LL)},除此之外的結(jié)點(diǎn)有O(i,j)={(2i,2j),(2i,2j+1),(2i+1,2j), (2i+1,2j+1)}，這里L(fēng)L為最高層H的尺度。

　　● L(i,j)：點(diǎn)(i,j)除直接后代外所有后代坐標(biāo)的集合;