數制的概念　　數制是人們利用符號進行計數的科學方法。數制有很多種，在計算機中常用的數制有：十進制，二進制和十六進制。 　　數制也稱計數制，是指用一組固定的符號和統一的規則來表示數值的方法。計算機是信息處理的工具，任何信息必須轉換成二進制形式數據后才能由計算機進行處理,存儲和傳輸。

?

十進制數（Decimal）

　　人們通常使用的是十進制。它的特點有兩個：有0，1，2….9十個基本數字組成,十進制數運算是按“逢十進一”的規則進行的. 　　在計算機中,除了十進制數外,經常使用的數制還有二進制數和十六進制數.在運算中它們分別遵循的是逢二進一和逢十六進一的法則.

?

二進制數（Binary）

　　二進制數有兩個特點：它由兩個基本數字0，1組成，二進制數運算規律是逢二進一。 　　為區別于其它進制數，二進制數的書寫通常在數的右下方注上基數2，或加后面加B表示。 　　例如：二進制數10110011可以寫成（10110011）2,或寫成10110011B,對于十進制數可以不加注.計算機中的數據均采用二進制數表示,這是因為二進制數具有以下特點： 　　1） 二進制數中只有兩個字符0和1，表示具有兩個不同穩定狀態的元器件。例如，電路中有，無電流，有電流用1表示，無電流用0表示。類似的還比如電路中電壓的高，低，晶體管的導通和截止等。 　　2） 二進制數運算簡單，大大簡化了計算中運算部件的結構。 　　二進制數的加法和乘法運算如下： 　　0+0=0 0+1=1+0=1 1+1=10 　　0×0=0 0×1=1×0=0 1×1=1

?

八進制數（Octal）

　　由于二進制數據的基R較小，所以二進制數據的書寫和閱讀不方便，為此，在小型機中引入了八進制。八進制的基R=8=2^3，有數碼0、1、2、3、4、5、6、7，并且每個數碼正好對應三位二進制數，所以八進制能很好地反映二進制。八進制用下標8或數據后面加Q表示 例如：二進制數據 （ 11 101 010 . 010 110 100 ）2 對應 八進制數據 ( 3 5 2 . 2 6 4 )8或352.264Q.

?

十六進制數（Hex）

　　由于二進制數在使用中位數太長,不容易記憶,所以又提出了十六進制數 　　十六進制數有兩個基本特點:它由十六個字符0～9以及A，B，C，D，E，F組成（它們分別表示十進制數10～15），十六進制數運算規律是逢十六進一，即基R=16=2^4，通常在表示時用尾部標志H或下標16以示區別。 　　例如：十六進制數4AC8可寫成（4AC8）16，或寫成4AC8H。

?

數的位權概念

　　對于形式化的進制表示，我們可以從0開始，對數字的各個數位進行編號，即個位起往左依次為編號0，1，2，……；對稱的，從小數點后的數位則是-1，-2，…… 　　進行進制轉換時，我們不妨設源進制（轉換前所用進制）的基為R1，目標進制（轉換后所用進制）的基為R2，原數值的表示按數位為AnA(n-1)……A2A1A0.A-1A-2……，R1在R2中的表示為R，則有(AnA(n-1)……A2A1A0.A-1A-2……)R1=(An*R^n+A(n-1)*R^(n-1)+……+A2*R^2+A1*R^1+A0*R^0+A-1*R^(-1)+A-2*R^(-2))R2 　　（由于此處不可選擇字體，說明如下：An，A2，A-1等符號中，n，2，-1等均應改為下標，而上標的冪次均用^作為前綴） 　　舉例： 　　一個十進制數110，其中百位上的1表示1個10^2，既100，十位的1表示1個10^1，即10，個位的0表示0個100，即0。 　　一個二進制數110，其中高位的1表示1個2^2，即4，低位的1表示1個2^1，即2，最低位的0表示0個2^0，即0。 　　一個十六進制數110，其中高位的1表示1個16^2，即256，低位的1表示1個16^1，即16，最低位的0表示0個16^0，即0。 　　可見，在數制中，各位數字所表示值的大小不僅與該數字本身的大小有關，還與該數字所在的位置有關，我們稱這關系為數的位權。 　　十進制數的位權是以10為底的冪，二進制數的位權是以2為底的冪，十六進制數的位權是以16為底的冪。數位由高向低，以降冪的方式排列。

?

進數制之間的轉換

　　1.二進制數、十六進制數轉換為十進制數（按權求和） 　　二進制數、十六進制數轉換為十進制數的規律是相同的。把二進制數（或十六進制數）按位權形式展開多項式和的形式，求其最后的和，就是其對應的十進制數——簡稱“按權求和”. 　　例如:把(1001.01)2轉換為十進制數。 　　解：（1001.01）2 　　=1*8+4*0+2*0+1*1+0*(1/2)+1*(1/4) 　　=8+0+0+1+0+0.25 　　=9.25 　　把(38A.11)16轉換為十進制數 　　解:(38A.11)16 　　=3×16的2次方+8×16的1次方+10×16的0次方+1×16的-1次方+1×16的-2次方 　　=768+128+10+0.0625+0.0039 　　=906.0664 　　2.十進制數轉換為二進制數,十六進制數(除2/16取余法) 　　整數轉換.一個十進制整數轉換為二進制整數通常采用除二取余法,即用2連續除十進制數,直到商為0,逆序排列余數即可得到――簡稱除二取余法． 　　例：將25轉換為二進制數 　　解:25÷2=12 余數1 　　12÷2=6 余數0 　　6÷2=3 余數0 　　3÷2=1 余數1 　　1÷2=0 余數1 　　所以25=(11001)2 　　同理,把十進制數轉換為十六進制數時,將基數2轉換成16就可以了. 　　例:將25轉換為十六進制數 　　解:25÷16=1 余數9 　　1÷16=0 余數1 　　所以25=(19)16 　　3.二進制數與十六進制數之間的轉換 　　由于4位二進制數恰好有16個組合狀態,即1位十六進制數與4位二進制數是一一對應的.所以,十六進制數與二進制數的轉換是十分簡單的. 　　(1)十六進制數轉換成二進制數,只要將每一位十六進制數用對應的4位二進制數替代即可――簡稱位分四位. 　　例:將(4AF8B)16轉換為二進制數. 　　解: 4 A F 8 B 　　0100 1010 1111 1000 1011 　　所以(4AF8B)16=(1001010111110001011)2 　　(2)二進制數轉換為十六進制數,分別向左,向右每四位一組,依次寫出每組4位二進制數所對應的十六進制數――簡稱四位合一位. 　　例:將二進制數(000111010110)2轉換為十六進制數. 　　解: 0001 1101 0110 　　1 D 6 　　所以(111010110)2=（1D6）16 　　轉換時注意最后一組不足4位時必須加0補齊4位

?

數制轉換的一般化

　　1）R進制轉換成十進制 　　任意R進制數據按權展開、相加即可得十進制數據。 例如：N = 1101.0101B = 1*2^3+1*2^2+0*21+1*2^0+0*2^-1+1*2^-2+0*2^-3+1*2^-4 = 8+4+0+1+0+0.25+0+0.0625 = 13.3125 　　N = 5A.8 H = 5*161+A*160+8*16-1 = 80+10+0.5 = 90.5 　　2）十進制轉換R 進制 　　十進制數轉換成R 進制數,須將整數部分和小數部分分別轉換. 　　1.整數轉換----除R 取余法 規則：（1）用R 去除給出的十進制數的整數部分，取其余數作為轉換后的R 進制數據的整數部分最低位數字； （2）再用2去除所得的商，取其余數作為轉換后的R 進制數據的高一位數字； （3）重復執行（2）操作，一直到商為0結束。 例如： 115 轉換成 Binary數據和Hexadecimal數據 （圖2-4） 所以 115 = 1110011 B = 73 H 　　2．小數轉換-----乘R 取整法 規則：（1）用R 去除給出的十進制數的小數部分，取乘積的整數部分作為轉換后R 進制小數點后第一位數字； （2）再用R 去乘上一步乘積的小數部分，然后取新乘積的整數部分作為轉換后R 進制小數的低一位數字； （3）重復（2）操作，一直到乘積為0，或已得到要求精度數位為止。