傅立葉變換：將時域上的波形分解成正弦波的過程就是傅立葉變換，傅立葉正變換可以將波形分解，投影到頻域上，傅立葉逆變換可以將頻域上波形疊加，映射到時域上。變換過程如下圖所示：

　　為何要進行傅立葉變換？

　　很多在時域看似不可能做到的數(shù)學(xué)操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱為濾波，是信號處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到。離散傅里葉變換（DFT）是傅里葉變換在離散系統(tǒng)中的表示形式。但是DFT的計算量非常大， FFT就是DFT的一種快速算法。

　　時域分析與頻域分析是對模擬信號的兩個觀察面，根據(jù)傅立葉分析，所有的波形都可以分解為正弦波，可以由不同頻率的正弦波疊加而成，一種頻率的正弦波在頻域上對應(yīng)一個點，就行時域上的時間點一樣。例如下圖波形，從時域上看是類似方波，二如果從頻域上看就是一個個線段。

　　傅里葉變換的特點：

　　對于數(shù)據(jù)信號的去噪，傅立葉變換是將信號完全的放在頻率域中分析，但無法給出信號在每一個時間點的變化情況，無論信號在時間軸上任何一點產(chǎn)生突變，都將會影響到整個頻域的信號。因此，傅立葉變換不能有效的區(qū)分出信號中出現(xiàn)的尖峰是由突變部分還是不平穩(wěn)白噪聲引起的。

　　小波變換

　　那么你可能會想到，讓窗口大小變起來，多做幾次STFT不就可以了嗎？！沒錯，小波變換就有著這樣的思路。

　　但事實上小波并不是這么做的（關(guān)于這一點，方沁園同學(xué)的表述“小波變換就是根據(jù)算法，加不等長的窗，對每一小部分進行傅里葉變換”就不準(zhǔn)確了。小波變換并沒有采用窗的思想，更沒有做傅里葉變換。）

　　至于為什么不采用可變窗的STFT呢，我認為是因為這樣做冗余會太嚴重，STFT做不到正交化，這也是它的一大缺陷。

　　于是小波變換的出發(fā)點和STFT還是不同的。STFT是給信號加窗，分段做FFT；而小波直接把傅里葉變換的基給換了——將無限長的三角函數(shù)基換成了有限長的會衰減的小波基。這樣不僅能夠獲取頻率，還可以定位到時間了

　　小波做的改變就在于，將無限長的三角函數(shù)基換成了有限長的會衰減的小波基。這就是為什么它叫“小波”，因為是很小的一個波嘛

　　從公式可以看出，不同于傅里葉變換，變量只有頻率ω，小波變換有兩個變量：尺度a（scale）和平移量 τ（translation）。尺度a控制小波函數(shù)的伸縮，平移量 τ控制小波函數(shù)的平移。尺度就對應(yīng)于頻率（反比），平移量 τ就對應(yīng)于時間。

　　當(dāng)伸縮、平移到這么一種重合情況時，也會相乘得到一個大的值。這時候和傅里葉變換不同的是，這不僅可以知道信號有這樣頻率的成分，而且知道它在時域上存在的具體位置。

　　而當(dāng)我們在每個尺度下都平移著和信號乘過一遍后，我們就知道信號在每個位置都包含哪些頻率成分。

　　看到了嗎？有了小波，我們從此再也不害怕非穩(wěn)定信號啦！從此可以做時頻分析啦！

　　小波變換的特點

　　小波變換是以某些特定的函數(shù)為基，將數(shù)據(jù)信號展開成級數(shù)系列，它是空間（時間）和頻率的局部變換，因此，小波變換可同時在時域和頻域中對數(shù)據(jù)信號進行多尺度聯(lián)合分析，從而能有效地從信號中提取信息。對于數(shù)據(jù)信號的去噪，由于小波分析可以同時在時域和頻域中對信號進行聯(lián)合分析，并且它具有多尺度細化分析的功能。因此，我們可以在不同的分解層上和不同的小波基函數(shù)下對信號的突變部分和噪聲進行有效的區(qū)分，從而實現(xiàn)信號的消噪。