高階技能學習,傅立葉變換的簡易指南
2014年05月04日 09:36 來源:互聯網 作者:秩名 我要評論(0)
關于傅立葉變換,無論是書本還是在網上可以很容易找到關于傅立葉變換的描述,但是大都是些故弄玄虛的文章,太過抽象,盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列,讓人很難能夠從感性上得到理解,對于這個有史以來最重要的發現之一。如何才能更輕易地理解這個公式呢?
那么。拋開枯燥難懂的數學符號,讓我們用一種新方法來試著理解。這是一個純中文的闡述:
傅立葉變換有什么用?拿一杯思暮雪,用它能找出配方。
該怎么做呢?把思暮雪放進過濾器(濾波器),然后萃取每一種成分。
為什么呢?因為配方比思暮雪本身更容易用來分析、比較和定義。
我們怎么能拿回原本的思暮雪呢?混合所有的成分。
然后,類似于“數學-中文”模式:
基于時域的傅立葉變換會檢測每一種“周期成分”(周期長度,補償,和轉速),返回完成的“周期配方”(頻率圖譜)
現在要上公式了?當然不是!讓我們自己動手,進行一次生動的模擬。
要是一切順利的話,你會驚奇的發現,你已經直觀的明白了為什么傅立葉變換能夠實現。我們用下列步驟替代了所有的數學分析。
這并不是一次緊張的實驗,而是一次舒心的體驗。讓我們開始吧!
由思暮雪得到配方
數學變換的實質是變量關系的改變。根據所算之物,把我們對數量的認知從“單一物體”(沙里的線條,計數系統)變成“許多10”(小數)。游戲得分?繼續計數。乘法?拜托,是小數。
傅立葉變換把我們的視角由消費者變成了生產者,從“我看到了什么?”變成“這是怎么發生的?”。
換句話說:拿一個思暮雪,我們要找出它的配方。
為什么呢?好吧,配方是飲料的最佳描述。你并不會跟人一滴一滴分析飲料,只會說“我有一杯橘子或是香蕉思暮雪”。配方比事物本身更易于歸類、比對和定義。
那么……拿一杯思暮雪,到底怎么找到配方呢?
嗯,想象一下你周圍有很多過濾器(濾波器):
把思暮雪倒進“香蕉”過濾器(濾波器)里。提取出了1盎司香蕉。
倒進“橘子”過濾器(濾波器)里。提取出了2盎司橘子。
倒進“牛奶”過濾器(濾波器)里。提取出了3盎司牛奶。
倒進“水”過濾器(濾波器)里。提取出了3盎司水。
我們可以通過混合每種成分得到原先的思暮雪。懂了么?
過濾器(濾波器)必須是相互獨立的。香蕉過濾器(濾波器)只濾出香蕉,沒有其它的任何成分。再多的橘子也不能影響香蕉的讀數。
過濾(濾波)必須是徹底的。如果我們遺漏了一個過濾器(濾波器),就永遠也得不到真正的配方(天哪!那還有個芒果過濾器(濾波器)!)。我們的過濾器(濾波器)必須能確定每種成分的含量。
不同成分之間必須是可合成的。思暮雪必須能被分離并重制(餅干?沒那么夸張。誰有想要一堆碎屑呢?)。不同成分在分離和結合的時候必須是線性的。
周期看世界
傅立葉變換持有一種特別的觀點:要是每一種信號都是周期性的呢(周期性重復)?
哇塞。這個假設太讓人著迷了,可憐的約瑟夫·傅立葉首先提出了這個假設。(現實里約瑟夫,樓梯能做成環狀的么?)
忽略數學界持續數十年的爭論,我們希望學生們可以直觀的理解這個概念。額……讓我們略過直觀的部分。
就像我們分析思暮雪成分一樣,傅立葉變換可以分析出信號的成分:
開始時,是一個時域信號
用濾波器來測定每種可能的“周期信號成分”
完整的“配方”需要列出所有的“周期信號成分”的數值
完成。這就是大部分教程要教給你的東西。別被嚇到了;想想這個例子“天哪,過五關斬六將,我們終于得到源代碼(DNA)了”。
要是地震波(不同強度和速度的震動)能被分離成幾種成分,建筑就能被設計成免于地震威脅的高強度結構。
要是聲波(高低不同的頻率)能被分成幾種成分,我們就能增強想要的部分,削弱不想要的部分。隨機噪聲引起的噼啪聲可以被濾除。相似的“聲譜”可以被比對(音樂識別服務比對的是聲譜而不是原始音頻)。
要是電腦數據能被周期性的描述,那些不重要的信息就能被濾除。這種“有損壓縮”可以急劇減小文件的大小(這就是為什么JPEG和MP3文件要比原始的.bmp或.wav文件要小得多的原因)。
要是我們的信號是無線電波,我們可以通過濾波器來聽確定的頻段。在思暮雪的世界里,想象每個人都注意著不同的成分:亞當在尋找蘋果,鮑勃在尋找香蕉,查理想要花椰菜(兄弟,對不住了)。
傅立葉變換在工程領域運用廣泛,但事實上,它是個尋找現象根源的象征。
多想想周期信號,而不是正弦曲線
我最大的困惑在于“正弦曲線”和“周期信號”的定義區分。
“正弦曲線”意味一種往復運動模式(正弦或余弦函數)。在99%的場合里,指的都是發生在象限里的運動
周期信號是一種環形,包括兩個D形圖案的模式。要你愿意用10塊錢的話來描述10分錢的主意,你可以把一個圓形路徑稱作一個“完整正弦曲線”。
把一個周期的路徑稱作一個“完整正弦曲線”,就像你把一個諺語叫做“漢字的集合”。你選擇了錯誤的細節級別。諺語包含了復雜的含義,而不是可以拆分的漢字!
傅立葉變換是關于周期(不是含有一個D形的正弦曲線)和歐拉公式的變換:
我們必須用虛數做周期運動么?當然不。即使那么做既方便又簡潔。我們把信號分成實數和虛數的部分,但別忘了前提是:我們在做周期運動。
沿著周期路徑
我們一邊用電話聊天,一邊在腦海里畫圓(你答應了的!)。我該說什么呢?
這個圈兒該有多大呢?(幅度,半徑范圍的大小)
我們要畫得多快?(頻率。1周期/秒=1赫茲=2π弧度/秒)
從哪里開始呢?(相位角,0度對應x軸)
我可以說“2英寸,起始于45度,1圈兒每秒,開始吧!”。半秒之后,我們應該到達了同一點:起始位置+經過角度=45+180=225度(2英寸半徑)。
每個圓周路徑都需要設定大小、速度和起始角度(幅度/周期/相位)。我們還可以把它們合到一塊:想象用不同速度繞圈兒跑的小摩托車。
所有周期的位置信息加到一起就是原本的信號,一如所有的成分混合就得到了原本的思暮雪一樣。
下面是一個對基本圓周路徑的仿真:
(詳細、直觀的動畫。需要瀏覽器。點擊圖像暫停/繼續。)
周期的時間順序顯示,開始于0Hz。周期[0 1]的含義是
0的意思是0Hz周期(0Hz=開始于x軸,0度相位的連續周期)
1的意思是1Hz周期(每個時間間隔完成一個周期)
現在是棘手的部分:
藍色圖像表示周期的實數部分。另一個可愛的數學問題:我們常用水平軸來表示每個周期的實軸,其數值在數值軸上顯示。你也可以把坐標軸旋轉90度。
時間點間隔按照最高頻率設定。1Hz信號需要兩個時間點來表示,分別記錄起始和終止時刻(一個信號值是沒有頻率的。)。時間值[1 -1]對應著這些等間隔點的幅度。
然后呢?[0 1]是1Hz周期。
現在加入2Hz周期,并疊加。[0 1 1]意味著“0Hz值為零,1Hz時值為1,2Hz時值為1”:
哇塞。我們的小摩托車越跑越快了:綠線代表了1Hz和2Hz,藍線是疊加后結果。點選綠色復選框可以讓結果看起來更清晰。混合好的“味道”是一個傾斜的函數,從最大值開始,降到最低值。
黃點是我們測量信號的時刻。已經確定了3個周期信號(0Hz, 1Hz, 2Hz),每個點為信號值的1/3.在這個例子里,周期[0 1 1]生成了時間量[2 -1 -1],從最大值(2)開始,然后降到最低(-1)。
哦!剛才忘了考慮相位角了,現在我們要把它加上!加上數值:相位角。[0 1:45]是從45度開始的,1Hz的周期函數:
它是[0 1]的進階版本。時域上,我們用[.7 -.7]替換[1 -1]。因為我們的周期函數并不是沿著我們的測量時方向上,它們是還在運動的點(這是可被設置的)。
通過改變周期信號的頻率,強度和相位,傅立葉變換可以匹配任何時域信號。
信號所謂“時域觀測”或是“頻域成分”已成為一種抽象的概念。
說夠了,就讓我們把它講明白吧!你可以選擇模擬器里任何時間或類型的周期函數。如果它是時間表示的,你看到的許多構成所要周期函數的點(其集合被稱為波)。
但是——難道在黃色的時間間隔里不包括任何特殊的點么?當然包括。但是我們怎么知道沒有測量的時候,信號是按照直線,曲線還是折線穿入另一象限呢?它在我們所需的等間隔時刻出現在我們希望的位置。
創造一個脈沖信號
我們可以用周期函數制造出一個脈沖信號么,像是(4 0 0 0)?(用括號表示時間點)
盡管脈沖看起來很煩人(難道只是煩人?),還是要考慮周期函數的復雜性。我們的周期成分必須對齊(最大值為4),然后向外傳播,每個周期函數都有其它函數可與其抵消。每個顯示為0的點,都是因為多個周期函數在此獲得平衡(你并不能關掉某個函數)。
讓我們看看每個時間點:
在0時刻,每個周期函數都處于最大值,(4???)由4個周期函數(0Hz 1Hz 2Hz 3Hz)疊加而成,每個函數的幅值都是1,而相位角都為0(換言之, 1 + 1 + 1 + 1 = 4)。
在之后的時刻(t = 1, 2, 3),所有周期函數的幅值必須相互抵消。
下面是數值為0的秘訣:當周期函數的值處于對稱軸的兩端(南和北,東和西,等等。),它們的和為0(要是3個周期函數均勻的分布在0,120和240度,它們就能相互抵消)。
想象許多繞圈旋轉的點。先面試每個點在每個時刻的位置:
時刻 0 1 2 3
------------
0Hz:0 0 0 0
1Hz:0 1 2 3
2Hz:0 2 0 2
3Hz:0 3 2 1
要注意,3Hz的周期信號從0開始,然后到了3,然后到了6(只有4個位置,6Mod,然后是9(9Mod4=1)。
每個周期長度為4個單位,周期函數在2個單位時的位置既不在一條線上(不同于0, 4, 8…),也不再相反的位置(不同于2, 6, 10…)。
好了。讓我們看看每個時間點的情況:
時刻 0:所有的周期函數都處于最大值(其和為4)
時刻 1:1Hz和3Hz函數值相互抵消(位置1和3是相反的值),0Hz和2Hz函數值相互抵消。最后結果為0.
時刻 2:在0時刻,1Hz和3Hz函數值相等,在2時刻,0Hz和2Hz函數值相等(相反的值)。相加結果還是0.
時刻 3:0Hz和2Hz函數值相互抵消.1Hz和3Hz函數值相互抵消。
時刻4(重復時刻0的情況):所有函數值相等。
秘訣在于讓相互獨立的函數相互抵消(0Hz 和 2Hz, 1Hz 和 3Hz),或是讓同方向上數值和相互抵消(0Hz + 2Hz 和 1Hz + 3Hz)。
當每個周期屬性相等,相位為0時,就可以對齊并消去后面的值。(我并不能很好的證明這一點——有人能嗎?——但你可以自己看到其發生。試試[1 1], [1 1 1], [1 1 1 1],你會注意到一個脈沖波峰:(2 0), (3 0 0), (4 0 0 0))。
這里直觀的顯示了怎么對齊,接下來是消去相反值:
改變峰值時間
t=0時,什么都沒有發生。接下來換到(0 4 0 0)?
應該和(4 0 0 0)看起來差不多,但是周期函數必須在t=1時(當前時刻的1s后)對齊。然后要考慮相位。
想象有4個人參與的賽跑。賽跑開始時,4個人都在起跑線上,(4 0 0 0)。沒意思。
怎么能讓每個人都同時到達終點呢?很簡單。只要讓他們不停的你追我趕就行了。也許奶奶在終點線前兩英尺,Usain Bolt離線還有100米,他們可以拉著手一起穿過終點線。
相位變化,起始角度就是周期信號世界里的延遲。接下來要說怎么調整起始位置,來者每個周期都延遲1秒:
0Hz周期函數不發生移動,所以它已經對齊了
1Hz函數在4秒完成一次往復,所有延時一秒意味著1/4輪。相位延遲90度(-90),然后它在t=1時刻到達相位0,其最大值。
2Hz函數的變化速度是1Hz函數的兩倍,所以要兩倍的角度來滿足要求(-180或180,分別沿著不同的方向)。
3Hz函數的速度是1Hz函數的3倍,所以要有3倍的移動距離(-270或90度的相位改變)
如果時間點(4 0 0 0)是由函數[1 1 1 1]產生,那么(0 4 0 0)則是由[1 1:-90 1:180 1:90]產生。( 注意: 此處用1Hz來表示一個周期運動經過的時間)。
天吶——我們在腦子里算出了周期函數!
干擾可視化是與之類似的,除了要在t=1時刻進行對齊。
試一下這個:你能想象出(0 0 4 0),即2秒延時時候的情況么?0Hz沒有相位。1Hz是180度,2Hz是360度(也就是0度),3Hz是540度(即180度),結果為[1 1:180 1 1:180]。
完整的傅立葉變換
事實上:我們的信號只不過是一大堆脈沖信號的疊加!只要得到每個時刻組分,你就能知道整個信號的成分。
傅立葉變換通過頻率得到“配方”:
把連續的信號(a b c d)分成不同的時刻:(a 0 0 0) (0 b 0 0) (0 0 c 0) (0 0 0 d)
任意頻率(例如2Hz),試驗配方是“a/4 + b/4 + c/4 + d/4“(每個尖峰的強度被除以頻率數目)
等等!還要對每個脈沖設置延時(每一秒延時的角度取決于頻率)。
每個頻率真正的配方=a/4 (無延時) + b/4 (1秒延時) + c/4 (2秒延時) + d/4 (3秒延時)。
遍歷每個頻率就能得到完整的變換結果。
這就是從“數學文字”到真正數學的過程:
幾個要點:
N=時間樣本的數量
n=當前運算的樣本編號(0 。。 N-1)
xn=n時刻信號值
k=當前頻率(0Hz到N-1Hz)
Xk=信號中頻率k的值(幅度和相位,一個復數)
1/N被用于反變換(從時域信號轉化為頻域信號)。這是可以實現的,盡管我更喜歡用1/N進行正變換,它表示了脈沖信號的正真大小。你也在變換過程(正反變換中仍含有1/N)中使用1/sqrt(N)。
n/N是我們經過的時間比例。2πk是單位為弧度/秒的速度,e^-ix是反向經過的路徑。合起來就是以當前時間和速度經過的實際路程。
傅立葉變換的原始方程只告訴你“加上復數”。很多變成語言并不支持直接使用復數,因此要把它們轉化成直角坐標系,然后相加。
讓我們開始吧
這是我遇到的最有挑戰性的課題。傅立葉變換涵蓋了幾個要點(離散/連續/有限長/無限長)的高深數學(狄拉克δ函數),很容易遺漏掉一些細節。這真的很挑戰我的認知。
但仍有簡單的類比來說明這些——我拒絕用別的方式思考。無論是思暮雪還是Usain Bolt & Granny穿過終點線,都能讓我們輕易的理解這一點。這個比喻是有缺陷的,但不算壞:它是一個木筏使用,一旦我們過河就把它們留下。
我意識到我自己的理解是如何薄弱,我沒辦法在自己的腦海里想出(1 0 0 0 )的變換。對我來說,就像,我懂加法。但是,“1+1+1+1”到底等于幾呢?為什么不呢?難道這些最簡單的運算不該有個直觀的展示么?
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