本文討論了一些重要的FFT特性,解釋了如何利用這些特性設(shè)置FFT以實(shí)現(xiàn)高效的分析。
快速傅里葉變換(FFT)是20世紀(jì)70年代微處理器進(jìn)入商業(yè)設(shè)計(jì)時首次出現(xiàn)的。從昂貴的實(shí)驗(yàn)室型號到最便宜的業(yè)余型號,現(xiàn)在幾乎每一臺示波器都能提供FFT分析功能。FFT是一種功能強(qiáng)大的工具,高效使用FFT要求人們對FFT有一定的研究。本文將介紹如何設(shè)置FFT和高效使用FFT,F(xiàn)FT的技術(shù)原理這里不再贅述。
FFT是一種能夠縮短離散傅里葉變換(DFT)計(jì)算時間的算法,也是一種用于在頻域(幅度和相位與頻率的關(guān)系)中查看所采集的時域(幅度與時間)數(shù)據(jù)的分析工具。FFT給數(shù)字示波器增加了頻譜分析功能。
觀察圖1中的上半部分曲線,你看到的是一個經(jīng)過幅度調(diào)制的載波,它使用梯形脈沖作為調(diào)制函數(shù)。在看圖1中的這個時域圖時,如果讓你告訴我信號的帶寬,你可能一時答不上來。但如果你對這個信號進(jìn)行FFT處理,就能得到另外一個視角。這個信號有一個線性掃描的頻率,帶寬用光標(biāo)標(biāo)記出來了,是4.7MHz。這正是示波器中增加FFT功能的原理,它是從另外一個角度來看同樣的數(shù)據(jù)。
圖1:上面的時域圖顯示了脈沖調(diào)制的射頻載波,下方的頻域圖顯示了在997MHz和1002MHz之間均勻分布的載頻
FFT頻帶寬度和分辨率帶寬
在最早的電路課程中,你應(yīng)該學(xué)過周期信號的頻率(頻域)是周期(時域)的倒數(shù)。同樣,這個關(guān)系貫穿在整個FFT設(shè)置過程中。
設(shè)置FFT最好從選擇分辨率帶寬(RBW)開始,因?yàn)樗c單參調(diào)整有關(guān)。RBW (Δf)是顯示FFT頻率軸的增量步距。在時域中,采樣周期決定了樣本之間的時間間隔。而在頻域中,RBW是頻譜圖中相鄰“單元”之間的頻率差值。RBW是時域記錄長度(也稱為采集時間)的倒數(shù),如圖2所示。你可以用示波器的水平刻度或時間/格參數(shù)設(shè)置來控制RBW。圖1中的采集時長是20μs,頻譜圖中的RBW是它的倒數(shù),即50kHz。
圖2:頻譜的分辨率帶寬是時域記錄長度或采集時間的倒數(shù)
設(shè)置FFT的下一步是確定頻域圖的寬度——FFT中最高頻率和最低頻率之差。注意,F(xiàn)FT通常從0 Hz開始,一直到整個頻帶寬度。這與射頻頻譜分析儀有很大的區(qū)別,馬上我會講到。
FFT的頻帶寬度是示波器有效采樣率的一半(圖3)。時域中的最短時間增量——采樣周期——決定了頻域中的最大分量。同樣,頻域中的最小增量是時間記錄中最長持續(xù)時間的函數(shù)。這符合時域和頻域之間的倒數(shù)關(guān)系。
圖3:頻譜寬度是示波器有效采樣率的一半
為了在頻域中取得更高的分辨率,必須增加采集的數(shù)據(jù)量,方法是增加時間/格設(shè)置值。這與在示波器的時域圖中增加時間分辨率的做法剛好是相反的。
從實(shí)用的角度看,時域記錄長度是由示波器的時間/格參數(shù)值控制的。一旦你選擇了時間/格參數(shù)值來達(dá)到想要的分辨率帶寬,那么控制采樣率達(dá)到所需頻帶寬度的唯一方法是修改示波器的采集內(nèi)存長度。現(xiàn)在事情似乎復(fù)雜起來了,確實(shí)是這樣。
最近,大多數(shù)高端示波器制造商都修改了FFT用戶界面,使它更類似于標(biāo)準(zhǔn)的射頻頻譜分析儀,設(shè)置中心頻率和頻帶寬度時將分辨率帶寬作為一個參數(shù)。雖然這類界面使得FFT使用起來更容易,但確實(shí)隱藏了FFT的基本功能,導(dǎo)致必須接受示波器設(shè)置的時間/格、采樣率和內(nèi)存長度組合。根據(jù)這部分討論的一些規(guī)則,你可以手工設(shè)置FFT,并在設(shè)置中獲得更多的自由度。
垂直縮放
根據(jù)示波器的不同,F(xiàn)FT也許可以選擇垂直刻度,也許只能是固定的單一垂直格式。最常見的垂直格式是功率譜,它以功率為單位顯示垂直幅度,常用相對于1毫瓦的分貝表示(dBm),并在對數(shù)垂直刻度上顯示。這種選擇也是射頻頻譜分析儀功能的保留。實(shí)驗(yàn)室級別的示波器可以提供更多的數(shù)據(jù),包括功率譜密度(PSD)、線性幅度、平方幅度、相位或?qū)崝?shù)/虛數(shù)分量。
PSD是歸一化為FFT分辨率帶寬的功率譜值。它的測量單位是dBm/Hz,代表單位帶寬上的功率。PSD在測量寬帶現(xiàn)象(如噪聲)時非常有用。幅度格式顯示示波器測量的線性單位的頻譜幅度,如伏特(V)或安培(A)。
幅度平方顯示顧名思義是將頻譜幅值顯示為幅度的平方值,單位可以是V2、A2等等,并且在歸一化為儀器輸入阻抗(通常是50Ω)時為功率測量提供線性縮放。歸一化是利用示波器的再縮放函數(shù)實(shí)現(xiàn)的,它允許乘以一個常數(shù)。對于50Ω來說,幅度平方譜乘以0.02(即1/50),即對于50Ω輸入阻抗而言將單位改為瓦(V2/50)。
從數(shù)學(xué)的角度來看FFT頻譜是一個復(fù)雜函數(shù),幅值的顯示只是全貌的一半。FFT輸出由實(shí)數(shù)和虛數(shù)部分組成,一些示波器可以同時顯示這兩部分。作為實(shí)數(shù)分量和虛數(shù)分量的替代,許多示波器顯示FFT相位和幅值。這兩個成對的輸出格式(實(shí)數(shù)/虛數(shù)和幅值/相位)構(gòu)成了完整的FFT。計(jì)算反向FFT時要求實(shí)數(shù)/虛數(shù)分量,在機(jī)械應(yīng)用(如振動測量)中它們更常用,幅度/相位格式在電氣測量中也常見到。圖4顯示了一個方波的功率譜幅值/相位和實(shí)數(shù)/虛數(shù)分量的例子。
圖4:一個方波的FFT的功率譜幅值、相位、實(shí)數(shù)和虛數(shù)分量
相位譜使用垂直單位度,實(shí)數(shù)和虛數(shù)格式使用與源通道相同的垂直單位,在本例中是mV。對于類似這種方波的周期性波形,相位、實(shí)數(shù)和虛數(shù)格式只在基頻和諧波頻率點(diǎn)有有效值。
加權(quán)函數(shù)
示波器中實(shí)現(xiàn)的FFT具有有限的記錄長度,這將在頻譜顯示中引起問題,原因是獲取的波形的起點(diǎn)和終點(diǎn)的連續(xù)性問題。圖5顯示了起點(diǎn)和終點(diǎn)是如何影響頻譜形狀的。
圖5:起點(diǎn)和終點(diǎn)的邊界條件將影響信號經(jīng)FFT處理之后的頻譜形狀
圖5的上面兩個波形中,所采集的信號頻率是采樣率的因數(shù),獲取的波形中存在整數(shù)的周期性,起點(diǎn)和終點(diǎn)處于相同的幅度,結(jié)果生成的頻譜非常窄。在下面兩個波形中,所采集的信號的頻率不是采樣速率的因數(shù),起點(diǎn)和終點(diǎn)位于不同的電平。
這將導(dǎo)致時間記錄的不連續(xù)性。生成的頻譜變得更寬,峰值電平更低,原因是頻譜擴(kuò)展(也稱為泄漏),即采集信號的能量被擴(kuò)展到了相鄰頻率單元。更低的、與頻率有關(guān)的峰值響應(yīng)被稱為“尖樁籬柵”效率或扇形損耗。加權(quán)(開窗)有助于最大限度地減小這些效應(yīng)。
加權(quán)是將獲取的波形乘以一個窗口函數(shù),通過調(diào)制將端點(diǎn)變?yōu)榱恪4翱诤瘮?shù)的形狀決定了頻譜響應(yīng),包括頻譜線的形狀和任何邊帶的幅度。常用加權(quán)函數(shù)的特征如表1所示。
表1 常見FFT加權(quán)(窗口)函數(shù)的特征
這張表對每個窗口最大限度減小旁瓣和扇形損耗的能力進(jìn)行了總結(jié)。圖6顯示了在相同輸入信號條件下窗口函數(shù)對譜線的影響。
圖6:這個屏幕圖像比較了在相同輸入信號條件下不同加權(quán)函數(shù)對頻譜響應(yīng)的影響
譜線變寬可以減小扇形損耗,這是有意義的,因?yàn)橄噜弳卧械男盘枙诟叻赛c(diǎn)重合,以獲得更寬的響應(yīng),并最大限度地減小扇形損耗。
窗口函數(shù)的選擇取決于具體需求。如果你要測量比采集窗口小的瞬變,那么不要使用窗口函數(shù),因?yàn)轭l譜峰值的幅度將根據(jù)采集窗口中的瞬態(tài)位置發(fā)生改變。在這種情況下,矩形窗口(無加權(quán))是最好的選擇。越窄的窗口響應(yīng)可以提供越好的頻率分辨率和更寬的響應(yīng)——Blackman Harris或平頂窗口——產(chǎn)生更為精確的幅度測量結(jié)果。如果你要兩者兼顧,一個好的折衷方案是Von Hann或Hamming窗口。
頻域平均
平均操作可以用來改善采集信號的信噪比,并且通常要求多次采集。平均可以在時域完成,也可以在頻域完成。與觸發(fā)事件不同步的信號,比如噪聲,將與平均次數(shù)呈正比衰減。圖7是頻域平均的一個例子。
圖7:頻域平均可以改善信噪比,并提供更大的動態(tài)測量范圍。有噪信號FFT在經(jīng)過許多次采集的平均后可以消除噪聲,從而看到更低電平的諧波
頻域中的平均是將多次采集的每個頻率單元的內(nèi)容累加起來然后除以采集次數(shù)實(shí)現(xiàn)的。那些與采集不同步的信號將被平均為零,而同步信號則連續(xù)累加。在圖7中,有噪信號的FFT包含頻譜被擴(kuò)展的噪聲分量,這些噪聲隱藏了低電平的諧波。平均有助于提高信噪比,減少噪聲,使得諧波分量可見。以同樣的方式,那些與采集不同步的信號幅度也將降低。
設(shè)置實(shí)例
考慮需要在一個4GHz帶寬的示波器上設(shè)置FFT,其頻帶寬度是10MHz,中心頻率是2.48GHz,分辨率帶寬為10kHz,用于分析一個連續(xù)的周期性信號。根據(jù)上述討論,只需簡單地設(shè)置示波器的時間/格參數(shù)就能完成分辨率帶寬的設(shè)置。10kHz的分辨率帶寬要求采集或捕獲時間為100μs,或者時間/格參數(shù)設(shè)為10μs /格。還應(yīng)設(shè)置示波器的垂直靈敏度(電壓/格),以便信號占據(jù)至少90%的輸入范圍,盡量提高其動態(tài)范圍。
FFT的頻帶寬度由采樣率控制。由于這個寬度必須包含2.48GHz信號頻率,因此必須大于這個頻率的兩倍。5GHz或更高的頻率應(yīng)該沒問題。示波器的最大采樣率是20 GS/s。利用示波器的時基設(shè)置來調(diào)整采集內(nèi)存長度,可以獲得想要的采樣率。在本例使用的示波器中,將內(nèi)存長度設(shè)為1MS,可以實(shí)現(xiàn)10GS/s的采樣率和100μs的采集時間。詳細(xì)的FFT設(shè)置見圖8。
圖8:適合本例使用的主要FFT參數(shù)設(shè)置
數(shù)學(xué)函數(shù)F1的FFT欄包含一些主要的FFT設(shè)置,并被設(shè)置為顯示功率譜。由于信號被顯示為連續(xù)的,因此加權(quán)函數(shù)類型可以選擇Von Hann窗口,它可以在頻率分辨率和幅度平坦度之間提供很好的折衷。
FFT欄顯示分辨率帶寬(Δf)為10kHz,寬度為5GHz。縮放欄可以讓你將中心頻率設(shè)為2.48GHz,水平刻度設(shè)為1MHz/格,如圖8中的F1軌跡所示。
小結(jié)
本文討論了一些重要的FFT特性,解釋了如何利用這些特性設(shè)置FFT以實(shí)現(xiàn)高效的分析。等下次你要在示波器中使用FFT時希望能助你一臂之力。
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