用開關電流技術實現小波變換， 關鍵是小波濾波器的實現; 小波濾波器傳輸表達式可通過對小波基函數的有理逼近來獲得。基于Pad 逼近的方法， 采用高斯函數族作為小波基函數， 對所選的高斯函數進行頻域的有理分式逼近來獲取小波濾波器傳輸表達式， 從數學上提出一種設計小波變換開關電流( SI)濾波器的CAD方法。結合SI的電流模信號特點， 利用雙二次濾波器的性質， 用SI單元電路的級聯結構來實現電路的靈活設計。設計舉例給出了設計思路， MATLAB仿真結果顯示這種方法的可行性。

　　1 系統框圖及設計基本原理

　　提出設計小波變換S I濾波器的CAD 方法， 具體見框圖1。先由用戶選擇小波基， 即確定高斯函數的參數， 以及采用其第N 階導數作為小波基。然后， 選擇Pad 逼近的方式， 得到時域或頻域的有理分式之后， 可以利用SI濾波器的性質來用對應的SI單元電路的級聯結構實現， 從而運用了SI技術的優點和性能優勢。

　　使用Mat lab編程可以實現該CAD 系統， 它是一個窗口界面交互編程模式， 通過輸入數據及點擊菜單欄選擇相應的菜單， 從而完成系統框圖設計。采用M atlab可以實現Pad 逼近的小波基函數有理式逼近的算法， 通過從菜單輸入高斯函數導數的階數和尺度因子可以實現有理式表達式的CAD; 而SI電路具有模塊化設計的特點同時開關電流濾波器的時間常數由晶體管的寬長比或時鐘的頻率決定， 實現基本小波濾波器后只需要調節時鐘頻率即可實現不同尺度的其他濾波器。

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　　圖1 系統框圖

　　1. 1 開關電流技術

　　S I電路由受時鐘控制的開關、電流鏡等電路構成， 利用MOS器件柵- 源間電容存儲效應實現對電流信號的處理。在實現線性離散電路系統設計時需要的基本單元有三個: 加法器， 乘法器和貯存單元;當用SI電路實現時， 其分別對應SI電路的基本單元為結點——電流信號的相加、比例電流鏡和S&H(取樣保持)單元， 這樣使電路的設計可以模塊化而大大簡化電路的設計。利用SI基本單元可以組成積分器而實現不同品質因數的濾波器， 最終達到小波變換電路設計的目的。

　　另外， 用信號流程圖的觀點來理解S I基本電路， 可以使系統傳輸函數的SI實現更明了。如通用積分器的SI電路設計， 可由同向輸入， 反向輸入和放大輸入疊加構成， 如圖2所示。

　　輸出電流為:

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　　當i1 ( z ) = - i2 ( z ) = i( z ) /2， a1 = a2 = a 構成雙線性積分器， Z 域傳輸函數為:

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　　圖2 通用積分器。

　　1. 2 小波基的選擇

　　高斯函數的通用表達式：

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　　式中a是參數， 定義δa(n) q 為δa ( t)的N 階導數:

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　　若

( a 取為一個具體值) 則函數δa (n) ( t )滿足小波的可容許性條件， 可采用δa(n) ( t )作為小波基函數， 相應的函數f ( t)在尺度為b， 位置為t處的卷積型小波變換定義為:

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　　可以證明， 其各階導數也是滿足小波函數的容差條件的， 采用高斯函數及其N 階導數為母小波。

　　1. 3 有理式的Pad 逼近

　　Pad 逼近具有: ( 1)計算簡便性——只要獲得要逼近函數的Tay lor展開， 再求線性方程組就可以獲得其有理逼近式; ( 2)應用廣泛——只要函數可以被展成Taylor級數就可以獲得其Pad 逼近式。這兩個特點使Pad 逼近十分適合于小波濾波器的實現。濾波器的傳輸函數通常表示為有理分式， Pad 逼近就是從冪級數出發獲得有理函數逼近式的一種十分有效而且簡潔的方法， 其思想就是對一個給定形式的冪級數構造一個有理函數， 稱之為Pad 逼近式， 使其Taylor級數展開有盡可能多的項與原來的冪級數相吻合。

　　Pad 變換的定義 如果存在有理分式函數PL ( s) /QL ( s) ∈ RL，M (PL ( s)與QM ( s)互質)滿足：

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　　及：

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　　0 0 則稱PL ( s) /QM ( s)為f ( s)在RL，M 中的Pad 逼近式， 記為[ L /M ] f ( s)， 或簡記為[L /M ]。上面的定義給出了求已知函數f ( s)有理表達式逼近方法。若記:

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　　QM ( s)乘以式( 3)， 并比較等式兩邊1， s， s2， ……， sL +M的系數， 可p， p 1， ……， pL 及q0， q1， ……， qM 的線性方程組(稱為Pad 方程組):

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　　及：

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　　其中規定a ≡0， n < 0; qj ? 0， j > M。對方程組( 6)、( 7)求解， 可得到PL ( s)和QM ( s)的系數。根據測不準原理， 高斯函數的時間分辨率與頻率分辨率的乘積可以達到理論的最小值， 這樣， 用高斯函數族作為小波基函數， 在最大限度上解決了時寬和帶寬不相容的矛盾， 在時域和頻域均有較好的分辨率。

　　1. 4 雙二次積分器的性質

　　在對小波函數的頻域表達式進行Pad 變換后，就獲得其頻域的有理分式逼近。但是此時得到的表達式是S 域的， 而要運用S I基本單元模塊電路， 就要對表達式進行變換來轉化到Z 域， 這里可通過Z域綜合法來實現。采用開關電流基本單元為模塊的CAD設計可使電路設計在實現上模塊化、直觀化，便于靈活現實采用不同S - Z 轉化( FD、BD、BL、LD I)時不同結構的電路。FD (前向差分映射) ， BD(后向差分映射) ， LDI(無損離散積分映射) ， BL(雙線性積分映射)， 其中性能最好的是BL。

　　為了使電路的設計更加具有靈活性， 這里采用了S I雙二次濾波器的性質。即對具有如下傳輸函數表達式的濾波器， 有：

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　　其中w0 是濾波器的特征頻率、Q 是品質因素。當a0、a1、a2 為不同的值時， 傳輸函數可以得到二階低通， 二階高通， 二階帶通， 二階全通濾波器函數。而式( 8)又可以由圖3所示的信號流程圖來表示。

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　　圖3 雙二次濾波器信號流程圖

　　在進行S域到Z域的傳輸函數表達式轉換， 采取雙線性變換， 得到如圖4所示的流程圖， 對應的系數就可以很容易的算出來: k0 ~ k4 分別為：

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　　其中( z+ 1) / ( z- 1)可以用開關電流雙線性積分器來實現， 系統通過這種S - Z 域轉化可以得到系統的框圖， 這里通過把SI電路基本單元框圖如雙線性積分器作為數據庫， 當有理表達式含有該項時讓CAD 系統自動調用該結構框圖然后級聯組成系統。

　　另外由于S - Z 是非線性變換， 還得求Z 域頻率， 即頻率預翹曲公式來處理:

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　　其中， f s 為采樣頻率， fp 為S 域的頻率， f 為Z 域的頻率。

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　　圖4 雙線性積分器實現的雙二次濾波器信號流程圖

　　2 舉例

　　設計舉例， 步驟如下:

　　( 1)小波基的選擇為確定高斯函數頻域表達式的參數及導數階數N 的值， 這里取高斯函數的一階導函數為小波基; 即對小波基設置窗口選擇a= 2-2， N = 1;( 2)進行Pad 逼近， 選擇[L /M ] Pad 逼近， 這里對Pad 逼近窗口設置為[ 3/5] Pad 逼近。就得到分子及分母的各項系數， 寫成頻域的有理表達式， 如下:

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　　改寫成為:

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　　( 3)有理式的分解—— Z域綜合。選擇菜單選項中的BL變換， 對式( 9)應用上面介紹的框圖法，各個式子的對應關系如下。

　　通過可以變成H 1 ( z)的形式， 對應一反向有損積分器與同向有損積分器并聯相加組成; H 2 ( s ) =對應帶通濾波器， 如框圖第二行;則對應高通， 帶通， 低通濾波器的輸出之和， 如框圖第三行; 系統的框圖就能很容易得到如圖5所示。

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　　圖5 系統框圖

　　( 4)采用歸一化方法， 利用M atlab顯示原函數與逼近函數圖像對比， 可見逼近度是可以滿足一般要求的， 如圖6所示。

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　　圖6 Pad 逼近的圖像

　　3 結論及結果分析

　　本文首次提出采用開關電流技術實現小波變換電路的一種CAD 方法。采用高斯函數族中的一階導數為母小波， 采用[ 3 /5 ] Pad 逼近得到其有理表達式。采用[ 3 /5] Pad 逼近能滿足要求， 要是想提高逼近度可采用高階Pad 逼近如[ 6 /10] Pad 逼近， 其均方差(MSE )可小至0. 19 % 10- 4， 但是相應的會提高成本; 又利用了SI基本模塊作為單元模塊通過編程來得到系統框圖結構。