正態分布

事實證明，許多自然現象遵循正態分布，正態分布，也稱為高斯分布（以數學家卡爾·弗里德里希·高斯命名），由以下等式描述：

高斯曲線也被稱為正態分布的概率密度函數（PDF）。

下圖描述了三個城市的披薩配送時間PDF：城市A、城市B和城市C：

l在城市“A”，平均交貨時間為30分鐘，標準偏差為5分鐘。l在城市“B”，平均交貨時間為40分鐘，標準偏差為5分鐘。l在城市“C”，平均交貨時間為30分鐘，標準偏差為10分鐘。

我們可以看到，城市“A”和城市“B”的披薩配送時間的高斯形狀是相同的；然而，它們的中心是不同的，這意味著在A城市，你平均等待披薩的時間要少10分鐘，而披薩配送時間的偏差程度是一樣的。

我們還可以看到，城市“A”和城市“C”中的高斯曲線中心是相同的；然而，它們的形狀不同。因此，這兩個城市的平均披薩配送時間是相同的，但偏差程度不同。

下圖描述了正態分布的比例：

l68.26%的交貨時間在μ±σ范圍內（25-35分鐘）l95.44%的交付時間在μ±2σ范圍內（20-40分鐘）l99.74%的交付時間在μ±3σ范圍內（15-45分鐘）

通常，測量誤差是服從正態分布的，卡爾曼濾波器設計假設測量誤差服從正態分布。

隨機變量 `

隨機變量描述系統的隱藏狀態，隨機變量是來自隨機實驗的一組可能值，隨機變量可以是連續的或離散的：

l連續隨機變量可以取特定范圍內的任何值，例如電池充電時間或馬拉松比賽時間是連續隨機變量。l一個離散的隨機變量是可計數的，例如網站訪問者的數量或班級中的學生人數。

隨機變量由概率密度函數描述，概率密度函數具有距的特性，隨機值的矩是隨機變量冪次方的期望值，我們對兩種類型的矩感興趣：

lK階原點矩是隨機變量k次冪的期望值：E（Xk）lK階中心矩是隨機變量分布關于其均值的第k次冪的期望值：E（（X?μX）k）

在本教程中，隨機變量的特征如下：

l一階原點矩E（X）–測量序列的平均值l二階中心力矩E（（X?μX）2）–測量序列的方差

估計、準確度和精度

估計是對系統隱藏狀態的評估，飛機的真實位置對觀察者是隱藏的，我們可以使用雷達等傳感器來估計飛機的位置，通過使用多個傳感器并應用高級估計和跟蹤算法（例如卡爾曼濾波器），可以顯著改善估計，每個測量或計算的參數都是一個估計值。

準確度指示測量值與真實值的接近程度。

精度描述了同一參數的一系列測量的差異程度，準確度和精密度是估計的基礎。

下圖說明了精確度和精度：

高精度系統的測量方差較小（即，不確定度較低），而低精度系統的度量方差較大（即，高不確定度），隨機測量誤差是方差產生的原因。

低準確度系統被稱為有偏系統，因為它們的測量具有內置的系統誤差（偏置）。

方差的影響可以通過平均或平滑測量來減小，例如，如果我們使用具有隨機測量誤差的溫度計測量溫度，我們可以進行多次測量并求平均值。由于誤差是隨機的，一些測量值將高于真實值，而其他測量值將低于真實值，估計值將接近真實值，我們做的測量越多，估計就越接近。

另一方面，有偏差的溫度計會在估算中產生恒定的系統誤差。

本教程中的所有示例都假定系統是無偏差的。

總結

下圖顯示了從統計學視的角度來看待測量：

測量值是一個隨機變量，由概率密度函數（PDF）描述。

測量的平均值是隨機變量的期望值。

測量值的平均值和真實值之間的偏差是測量值的準確度，也稱為偏差或系統測量誤差。

測量值的離散度是測量精度，也稱為測量噪聲、隨機測量誤差或測量不確定度。