摘要：實際應用中，多數情況下只會用到數據轉換器量程的一部分。如果輸入信號范圍只占轉換器量程范圍的一半或四分之一，則很容易計算出有效分辨率。如果不是這樣，計算將變得復雜。本文介紹在任何輸入范圍下的有效分辨率計算。

　　作為轉換器量程一部分的電壓裕量

　　模擬系統通常留出一定的裕量來調整增益誤差、漂移、設計容限或適應配套設備的狀況。在模擬和數字之間進行轉換時，我們也需要在數字部分保留一定的裕量。以0至10V的工業控制電壓為例，如果我們只允許ADC量化最大10V的電壓，那么，所有下行設備必須限制在10V，否則將丟失信息。因此，工業控制中通常允許5%甚至20%的裕量。

　　其它系統，例如視頻系統，視頻信號中往往包含同步信號。1VP-P視頻信號中包括700mV有用視頻信號和300mV的同步脈沖。如果利用12位ADC對這樣的信號進行數字轉換，視頻本身僅占用整個量程的70%，或者說4096個量化編碼中只使用了2867個編碼。現在，假設保留裕量為5%，則有效使用范圍更低。

　　因此，在模擬和數字之間轉換時，我們必須保證數字部分能夠應對系統裕量。這一點很重要，但代價是降低了有效分辨率。

　　任意模擬范圍的有效分辨率計算

　　我們首先從兒童的數學練習開始——這么簡單嗎?

　　我兒子最近問了我一道數學題。大致內容如下。我有一張巨大的紙，將其剪成兩半;我將兩張紙摞在一起，那么總厚度將為原來的2倍。現在，我又將這摞紙裁成兩半，并再次將其摞在一起，此時的總厚度為最初單張紙的4倍。依此類推，重復以上過程多少次之后，摞起來的紙的高度可以到達月亮?

　　他需要推導的公式與計算有效分辨率的公式非常相似，公式中使用了對數。

　　以電壓為0至10V、20%裕量的工業控制為例，實際范圍為0至12V。如果采用16位DAC，那么0至10V信號的有效分辨率是多少?

　　我們知道，對于R位分辨率的DAC，其階梯數為2R。所以，定義N為階梯數：

　　N = 2R

　　我們需要求出R，所以需要用到對數計算。在等式兩側取對數：

　　Log(N) = R × Log(2)

　　式子簡化為：

　　R = Log(N)/Log(2)

　　返回工業控制的例子，對于0至10V范圍，實際上僅使用了階梯數的10/12 = 0.833倍。在16位系統中，碼值為54613。將該數字代入公式，即可計算出有效分辨率：

　　R = Log(54613)/Log(2) = 15.7

　　所以，如果留出20%裕量，有效分辨率會降低大約0.3位。

　　實際上，就位數而言，減少的位數與原始分辨率無關。我們可以通過所用編碼與可用編碼之比得出減少的位數。

　　Δr = Log(r)/Log(2)

　　因此，在以上700mV視頻和300mV同步信號的視頻例子中，使用了0.7倍的可用編碼：

　　Δr = Log(0.7)/Log(2) = -0.51

　　結果損失了0.51位。所以，在12位系統中，有效分辨率為11.49位，在16位系統中為15.49位。

　　對于那些想知道剪多少次紙后才能從地球到達月球的人，可以進行以下計算：紙摞的高度T = p × 2C，式中：p為單張紙的厚度，C為剪紙的次數。注意到相似性了嗎?按照相同的方式，我們可求解出C，于是C = Log(T/p)/Log(2)。

　　如何完成我兒子的家庭作業呢?我測得一張打印紙的厚度為0.11mm。月球與地球的距離大約為300,000km。所以，我們需要剪紙的次數為Log(3 × 1011/0.11)/Log(2) = 42次。好，我們現在動手...所需的時間并不長嘛。所需剪紙的次數少得讓人難以置信。

　　結論

　　任何進行模擬和數字信號相互轉換的系統中，必定有一定的裕量，這通常會降低系統的有效分辨率。本文推導的公式能夠在已知模擬信號占數字范圍的比例的條件下，計算出有效分辨率。實際上，正如示例所示，即使采用留出較大的裕量開銷，所減少的有效分辨率也不到1位。