在正式進入Polar碼世界之前，我們先進行熱身運動。

先看看對線性空間的定義，了解其中的基本概念。

這里，主要是對線性代數中的矩陣運算規律進行了總結。本質上，與我們學過的加法和乘法類似。

接下來，我們回到信息論中，了解關于編碼的幾個概念：

這里，我們需要知道二進制線性分組碼的概念，K和N分別代表什么。定義中的GF(2)是指2元伽羅瓦域。伽羅瓦域，也稱有限域，是僅含有限個元素的域,它是伽羅瓦(Galois,E.)于18世紀30年代研究代數方程根式求解問題時引出的。

首先，群論是法國天才少年數學家伽羅瓦發明的，它是信道編碼的數學基礎。

接下來，我們了解什么是校驗矩陣，什么是內積。

你一定還記得上信息論課上，求生成矩陣G和校驗矩陣H的生動畫面吧。

極化碼背景

在《Polar Code（一）概述》一文中，我們提到了離散無記憶信道。

離散信道：指的是輸入符號集合和輸出符號集合都是離散集合的信道。我們通常考慮離散信道的輸入輸出符號集合的元素是有限的。

信道無記憶：是指信道的任意兩次傳輸是獨立的，即信道對每個輸入符號添加的噪聲是獨立的。

離散無記憶信道W可以用轉移概率W(y/x)來描述，其中y∈Y是輸出符號集合中的元素，x∈X是輸入符號集合中的元素。W(y/x)表示在輸入符號為x的條件下，輸出符號是y的概率。其實，這與條件概率的概念類似，只是在信號處理領域，我們用轉移概率來描述。

在給定信號源分布的情況下，即x∈X的離散分布律已知，整個傳輸系統（X,Y）的聯合概率Pr(X=x,Y=y)=p(x)W(y/x)。

這里通俗一點講，就是我們發送端的信源X是什么符號是已知的，經過信道H傳輸后，接收端收到了Y。

比如，你給朋友打電話，你的聲音通過手機轉化為電信號，再通過信號處理變為電磁波，通過手機內置的天線輻射出去。電磁波在自由空間中通過電場和磁場的交替轉換，滾滾向前，通過基站檢索你朋友所在的位置，把這個過程逆向，最終你朋友聽到你的聲音。

信號在傳輸過程中，不可避免會受到干擾和衰落，進而有可能影響傳輸質量。

我們回來再看看一個重要的公式，計算對數似然比：

一看就知道，還是在求概率。說好的編碼，就是這樣游走在線性代數、概率論和信息論之間。

LLR在Polar譯碼過程中將被使用，輸入譯碼器的數據被稱為軟bit或者軟值。

具體計算過程，這里就不展開了。有興趣的朋友，繼續深入研究。

下面，再學習幾個定義。

信道容量是信息論的內容，香農老爺子總是縈繞在我們身邊。

繼續我們的定義。

對于該文獻中的部分推導是否嚴謹，有待考證。

下面，我們再看看關于二叉樹的兩個重要概念：二叉樹攀升與墜落。

先看一幅圖：

是不是想起了老子的經典名言：“道生一，一生二，二生三，三生萬物”。

就是這樣一顆樹，在信息編碼界樹立了永遠的豐碑。

從葉節點開始的攀升，對應的是標準SC譯碼器的比特值反饋計算過程。

從非葉節點出發的攀升，對應的是快速SC譯碼器的比特值反饋計算過程。

有點意思，編碼和譯碼，玩的就是“0”，“1”。

審核編輯：劉清
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