基于比時法的晶振頻率測量建模與分析

李二鵬，文開章，汪為偉

(西北核技術(shù)研究所陜西 西安710024)

0 引言

石英晶體振蕩器受制造工藝、器件老化以及外部溫度等因素影響，其實際頻率值與標(biāo)稱頻率值存在偏差。此外，晶體振蕩器內(nèi)部存在著各種噪聲也會使頻率值產(chǎn)生隨機起伏，從而導(dǎo)致晶振頻率的準(zhǔn)確度和穩(wěn)定度降低。當(dāng)前，國內(nèi)外在研究晶體振蕩器的老化和隨機噪聲、分析晶振頻率誤差特性方面提出了很多方法，比較常見的有時間對數(shù)線性模型法、自適應(yīng)濾波法及非線性時變預(yù)測法。前兩種方法的缺點是參數(shù)較多，選擇合適的參數(shù)較難，非線性時變預(yù)測法的模型描述能力強，但由于沒有函數(shù)參數(shù)的顯式表達(dá)式，不能將模型求解歸結(jié)為參數(shù)求解問題，一般通過學(xué)習(xí)來逼近該函數(shù)，主要用于頻率變化的預(yù)測。

在上述方法的基礎(chǔ)上，本文利用CPLD設(shè)計了一種電路，該電路采用比時法來測量晶振頻率變化，并根據(jù)其頻率隨時間變化擬合曲線的特點，用線性回歸法分析其頻率誤差特性。該方法模型簡單，參數(shù)易于估計，可通過簡潔的補償方法消除晶振相對頻偏，具有實際的應(yīng)用價值。

1 晶振頻率測量系統(tǒng)組成

測量系統(tǒng)由GPS接收機、晶振、時差測量模塊、時鐘產(chǎn)生模塊、計算機數(shù)據(jù)采集處理組成。組成原理如圖1所示。



GPS接收機每秒輸出1路TTL電平的標(biāo)準(zhǔn)秒脈沖(1 PPS)，晶振是時差測量和時鐘產(chǎn)生的頻率源。時鐘產(chǎn)生電路產(chǎn)生本地秒脈沖。時差測量電路測量GPS秒脈沖與本地秒脈沖的相位差值。

采用比時法測量晶振頻率的系統(tǒng)工作原理如下：首先由晶振分頻得到本地的1 Hz頻率源，將GPS秒脈沖與本地晶振秒脈沖送入時差測量模塊進(jìn)行相位比較，得到兩者的相位差信號，設(shè)計時間間隔計數(shù)器對此相差閘門信號計數(shù)，計數(shù)值即為晶振頻率相對于標(biāo)準(zhǔn)頻率的偏差，反映了晶振頻率的誤差特征。時間間隔計數(shù)器每秒測量一次兩者的偏差值，需要測量的頻差數(shù)據(jù)量由計算機設(shè)定，測量結(jié)果傳送到計算機進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計，并對晶振頻率誤差特性進(jìn)行分析。本地時鐘產(chǎn)生、時差測量及數(shù)據(jù)采集電路模塊等都由CPLD設(shè)計實現(xiàn)。

2 模型建立

實驗以GPS秒脈沖作為標(biāo)準(zhǔn)參考信號，采用比時法對晶振的輸出頻率進(jìn)行測量。按照建立的測量系統(tǒng)，實際對某一晶振采集到30個計數(shù)值，如表1所示。



表1中x表示測量的時間(單位：s)；y表示晶振脈沖計數(shù)個數(shù)。假設(shè)晶振在某秒計數(shù)值為M，它的計數(shù)周期為T，則MT為晶振秒脈沖與GPS秒脈沖的時間差值。例如在第6 s時測得計數(shù)值為470，則表示在第6 s時晶振與GPS秒脈沖的時間差為470T。為了研究時間x與計數(shù)個數(shù)y之間的關(guān)系，用ORIGIN工具軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合處理，得到的x，y，關(guān)系曲線如圖2所示。



從散點圖可以看出，測量計數(shù)值和測量時間大致呈線性關(guān)系。據(jù)此假設(shè)這兩個變量之間的內(nèi)在關(guān)系是一條直線，這些點與直線的偏離是由于測量過程中其他一些隨機因素的影響而引起的，這樣可以假設(shè)這組測量數(shù)據(jù)有如下結(jié)構(gòu)形式：



式中：ε1，ε2，…，εN分別表示其他隨機因素對變量y1，y2，…，yN影響的總和，一般假設(shè)它們是一組相互獨立，并服從同一正態(tài)分布N(0，δ)的隨機變量。變量x在實驗中為自然數(shù)，表示具體的秒脈沖數(shù)值。這樣，變量y表示實際所測得的晶振與標(biāo)準(zhǔn)頻率的計數(shù)差值，它是服從N(β+βx，δ)的隨機變量。

用最小二乘法們來估計參數(shù)β0，β。設(shè)b0，b分別是參數(shù)β0，β的最小二乘估計，于是得到一元線性回歸的回歸方程：



式中：b0，b是回歸方程的回歸系數(shù)，分別表示晶振相對于標(biāo)準(zhǔn)頻率的初始誤差和累積誤差。應(yīng)用最小二乘法可求得回歸系數(shù)b，b0為：


3 數(shù)據(jù)分析與處理

3.1 回歸系數(shù)估計

為了定量分析數(shù)據(jù)，從而確定晶振頻率誤差的組成，首先對上述測得的數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理。實際測量中得到的是晶振脈沖的計數(shù)個數(shù)，設(shè)測量系統(tǒng)所用晶振頻率為10 MHz，可將計數(shù)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為晶振相對于標(biāo)準(zhǔn)時間每秒的時間之差。例如在x=30 s時，y=2 349，表示在第30 s時，晶振頻率相對于標(biāo)準(zhǔn)頻率的計數(shù)值為2 349，若晶振頻率f=10 MHz，則可得到在第30 s時晶振相對于GPS時間的誤差為t=y／f=234.9μs。

用Matlab對歸一化數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，依照最小二乘原理，得到計數(shù)時間x與時間差值y的均值，以及x的自相關(guān)、x和y的互相關(guān)、y的自相關(guān)及回歸方程如表2所示。




以上求得了回歸方程，但是該方程是否基本上符合y與x之間的客觀規(guī)律，是否符合晶振頻率誤差變化的實際特點，還需要對回歸方程做進(jìn)一步的分析。在回歸分析法中，通常采用方差分析法們對回歸方程的顯著性進(jìn)行檢驗，其實質(zhì)是將N個測量值的影響從數(shù)量上區(qū)分開，然后用F檢驗法對所求回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗。

3.2 晶振頻率誤差數(shù)據(jù)方差分析及顯著性檢驗

測量值y1，y2，…，yN之間的差異(稱為變差)是由兩方面的原因引起的。一是自變量取值的不同，二是其他因素(包括試驗誤差、隨機誤差等)的影響。為了對回歸方程進(jìn)行檢驗，把兩者所引起的變差從y的總變差中分解出來。根據(jù)上述數(shù)據(jù)可得：



式中：U稱為回歸平方和，它反映了在y的總變差中由于x和y的線性關(guān)系而引起的y變化的部分；Q稱為殘余平方和，即所有測量點距回歸直線的殘余誤差平方和。

若總的平方和由N項組成，其自由度就為N-1，總的離差平方和的自由度可分為回歸平方和的自由度υU和殘余平方和的自由度υQ之和，即：



在一元線性回歸中，υ_U=1，υ_S=N-1，則Q的自由度υ_Q=N-2。由回歸平方和與殘余平方和的意義可知，一個回歸方程是否顯著，也就是y與x的線性關(guān)系是否密切，取決于U及Q的大小，U愈大Q愈小，說明y與x的線性關(guān)系愈密切。通常可以采用F檢驗法來對方程進(jìn)行顯著性檢驗。對于一元線性回歸，將U及Q的值代入上式得到統(tǒng)計量F：



由F分布表可以查出，F(xiàn)≥F_0.01(1，28)=7.64。可認(rèn)為回歸是高度顯著的。

殘余平方和Q除以它的自由度υ_Q所得商：


稱為殘余方差，它可以看作排除了x對y的線性影響后，衡量y隨機波動大小的一個估計量。殘余方差的平方根：

稱為殘余標(biāo)準(zhǔn)差，它可用來衡量所有隨機因素對y一次性測量平均變差的大小，σ愈小，則回歸直線的精度愈高。

把平方和及自由度進(jìn)行分解的方差分析數(shù)據(jù)結(jié)果歸納在一個表格中，如表3所示。



從表3可以看出，在30 s時間內(nèi)，晶振實際頻率與其標(biāo)稱頻率的相對偏差引起的誤差平方和為1.377 18×10⁵μs²，其他各種隨機因素引起的誤差的平方和為1.996μs²。晶振相對頻偏引起的誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他因素引起的誤差，表明了晶振頻率誤差貢獻(xiàn)主要來源于實際頻率與標(biāo)稱頻率之間的頻偏。通過頻率修正即可得到一種高穩(wěn)定度的頻標(biāo)源。

4 結(jié)語

以上分析結(jié)果表明，該晶振頻率誤差主要來源于實際頻率與標(biāo)稱頻率的相對偏差，隨機誤差對晶振整體誤差的貢獻(xiàn)很小。通過對晶振標(biāo)稱頻率值進(jìn)行在線補償可以消除其相對頻偏，從而獲得一種具有較高穩(wěn)定度的頻率源，可為需要時間顯示的場所提供高精度的時間服務(wù)。

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