1 基本概念與應用

1）LFSR：線性反饋移位寄存器（linear feedback shift register， LFSR）是指給定前一狀態的輸出，將該輸出的線性函數再用作輸入的移位寄存器。異或運算是最常見的單比特線性函數：對寄存器的某些位進行異或操作后作為輸入，再對寄存器中的各比特進行整體移位。

LFSR 產生的兩種形式為伽羅瓦（Galois）和斐波那契（Fibonacci）兩種形式。也有成為外部（External）執行方式和內部（Internal）執行方式。

（1）伽羅瓦方式（Internal）

Galois 方式特征數據的方向從左至右，反饋線路是從右至左。其中 X^0 項（本原多項式里面的‘1’這一項）作為起始項。按照本原多項式的指示確定異或門（XOR）在移位寄存器電路上的位置。如上圖所示 X^4。因此 Galois 方式也有人稱作線內或模類型（M- 型）LFSR。

（2）斐波那契方式（External）

從圖中我們可以看到 Fibonacci 方式的數學流向和反饋形式是恰好跟 Galois 方式相反的，按照本原多項式，其中 X^0 這一項作為最后一項，這里需要一個 XOR 門，將本原多項式中所給的 taps 來設定它的異或方式。因此 Fibonacci 方式也被叫做線外或者簡型（S- 型）LFSR。

2）本原多項式

本原多項式是近世代數中的一個概念，是唯一分解整環上滿足所有系數的最大公因數為 1 的多項式。本原多項式不等于零，與本原多項式相伴的多項式仍為本原多項式。

（1）在 MATLAB 中，本原多項式可以通過函數 primpoly（x）來產生。

（2）在 MATLAB 中，通過函數 gfprimfd（m，‘min’）可以找到一個最小的本原多項式。

3）應用

誤碼率測量 -- 在數字通信中誤碼率是一項重要的質量指標，在實際測量數字通信系統的誤碼率時，一般來說，測量結果與信源發出信號的統計特性有關。通常認為二進制信號 0 和 1 是以等概率隨機出現的。所以測量誤碼率時最理想的信源應是偽隨機序列產生器。這樣測量的結果，我們認為是符合實際運用時的情況。

時延測量 -- 有時我們需要測量信號經過某一傳輸路徑所收到的時間延遲，例如，需要測量某一延遲線的時間延遲。另外，我們還常常通過測量一無線電信號在某個媒質中的傳播時間，從而折算傳播距離，即利用無線電信號測距。這就是說，這種測距的原理實質上也是測量延遲。

噪聲產生器 -- 測量通信系統的性能時，常常要使用噪聲產生器，由它給出具有所要求的統計特性和頻率特性的噪聲，并且可以隨意控制其強度，以便得到不同信噪比條件下的系統性能。例如，在許多情況下，要求它能產生限帶白色高斯噪聲。

通信加密、數據序列的加擾與解擾、擴展頻譜通信、分離多徑技術等等。

2 偽隨機序列的原理

對于某種反饋邏輯、初始化狀態非全零時，若輸出序列周期最長（P=2r-1），稱為 m 序列，也稱為偽隨機序列。

偽隨機序列通常由反饋移位寄存器產生，又可分為線性反饋移位寄存器和非線性反饋移位寄存器兩類。由線性反饋移位寄存器產生出的周期最長的二進制數字序列稱為最大長度線性反饋移位寄存器，即為通常說的 m 序列，因其理論成熟，實現簡單，應用較為廣泛。下面介紹 m 序列的產生原理。

在二進制多級移位寄存器中，若線性反饋移位寄存器（LFSR）有 n 階（即有 n 級寄存器），則所能產生的最大長度的碼序列為 2n-1 位。如果數字信號直接取自 LFSR（非翻轉信號）的輸出，那么最長的連 0 數為 n-1。除了字符串的連 0 和連 1，偽隨機序列在一個長度為 n 的字符串中將包含任何可能的 0 和 1 的組合。要使移位寄存器產生確定的值，必須置其初值并允許時鐘電路產生移位時鐘。

線性反饋移位寄存器產生 m 序列

在圖中給出一個一般的線性反饋移位寄存器的組成。圖中一級移存器的狀態用表示，=0 或 1，i=整數。反饋線的連接狀態用 表示，=1 表示此線接通（參加反饋），=0 表示此線斷開。我們不難推想，反饋線的連接狀態不同，就可能改變此移存器輸出序列的周期 p。

的取值決定了移存器的反饋連接和序列的結構，也就是決定了序列的周期。用特征多項式表示為：

當特征多項式符合某些條件時稱為本原多項式。在設計 m 序列產生器時，移位寄存器反饋線的結構直接決定于本原多項式的結構。也就是只要找到本原多項式，就能由它構成 m 序列產生器。

3 matlab 的 LFSR 驗證

1）matlab 函數產生本原多項式

clear all

close all

primpoly（8）;

2）本原多項式產生隨機序列

clear all

close all

% m=8

% x^8+x^4+x^3+x^2+1

% 435

s=［1 1 1 1 1 1 1 1］;

t=［8 4 3 2］;

［seq c］=LFSRv1（s，t）;

4 FPGA 的 LSFR 驗證

1）fpga 實現本原多項式

如上圖所示，當 fpga 仿真的輸入種子和 matlab 的輸入種子一致時產生的序列一致。

上圖為隨機序列的模擬信號展示。

3）在產生隨機數序列的基礎上我們可以進一步去產生符合高斯分布的高斯白噪聲