1、 引言

隨著數字信號處理理論及應用技術的迅速發展，在一個數字系統中只用一個采樣頻率已 經很難滿足要求。在實際的應用中，經常會遇到采樣率的轉換問題，即要求一個數字系統能 工作在“多采樣率”狀態。近年來，建立在采樣率轉換基礎上的“多采樣率數字信號處理” 已成為數字信號處理學科中的主要研究內容之一。直觀地考慮，首先將以采樣率 F1 采集的數字信號進行數模轉換，這樣就變成模擬信號，再按采樣率 F2 進行模數轉換，從而實現了從F1 到F2 的采樣率轉換，這就是變換采樣率的最簡單方法。但是這樣較麻煩，且易使信號受到損傷，所以在實際應用的變采樣系統中，改變采樣頻率并不經過模擬信號，而是完全 在數字域中實現的。在數字信號處理中，濾波占有極其重要的作用，適用于變采樣率系統 中的數字濾波器就是本文要談論的主要內容。

2、 FIR數字濾波器的設計過程及結構

數字濾波器根據其沖擊響應函數的時域特性，可分為兩種：無限長沖激響應（IIR）濾波器和有限長沖激響應（FIR）濾波器。FIR 濾波器被廣泛應用于各類數字信號處理系統， 它的系統總是穩定的，可以滿足濾波器對幅度和相位特性的嚴格要求，避免模擬濾波器溫漂 和噪聲等問題，易實現線性相位且易用硬件實現，這些都是FIR 系統的突出優點，也是IIR 系統不易實現的。盡管IIR 濾波器系統比FIR 濾波器系統易取得較好的通帶和阻帶衰減特性，FIR 系統若要取得較好的衰減特性，一般要求系統函數H（z）階次要高，也即濾波器長度M 要大。綜合以上考慮，本文選用FIR 濾波器來完成設計。

2.1FIR 數字濾波器的基本原理及設計基礎

FIR濾波器的系統函數為：

由系統函數可直接寫出描述輸入x（n）和輸出y（n）之間關系的差分方程。設x（n）是一個M點序列，則得：

就硬件實現而言，FIR數字濾波器的基本結構是一個分節的延時線，每一節的輸出加權累加，得到濾波器的輸出。

圖1 FIR濾波囂基本結構

圖1 中x（n）是輸入信號，x（n-i）是延時了i 個采樣周期的輸入信號，h（i）（i = 0，1，…，n-1）是第i 個延時節的加權值（即濾波器系數），y（n）是時刻t = nT 時濾波器的輸出信號。

FIR 數字濾波器的設計一般要經過三步：確定目標、逼近和計算機實現。通常在設計 濾波器之前，應該先根據具體的應用確定一些技術指標。指標的形式一般在頻域中給出幅度 和相位響應。幅度指標主要有2 種方式，分別是絕對指標和相對指標。在確定了技術指標之 后，就可以根據數學知識和濾波器的基本原理確定濾波器的模型來逼近給定的指標。上兩步 的結果通常是得到以差分或系數函數或沖擊響應描述的濾波器，根據這個描述用硬件或軟件 實現并分析其頻率特性和相位特性。至此完成了一個濾波器設計的全過程。

2.2 利用Matlab 實現FIR 數字濾波器

Matlab 是一個交互式的以矩陣為基礎的軟件，它被廣泛應用與教學、科研和工程設計 等各個領域。隨著Matlab 軟件的發展，尤其是Matlab 的信號處理工具箱的不斷完善，不僅 數字濾波器的計算機輔助設計有了可能，而且還可以使設計達到最優化。

在數字信號處理領域里，采樣頻率轉換就是將信號采樣頻率從一個給定的頻率F1=1/T1 轉換到另一頻率F2=1/T2 的過程，它是一個非線性過程。當新的采樣頻率高于原始頻率，即 F2 》 F1 時，稱為升采樣率或插值；反之，當新的采樣頻率低于原始頻率，稱為降采樣率或 抽取。

設對某限帶時間波形x（t），以采樣率fs（在滿足采樣定理的條件下）進行采樣，得到時間列x（k）．對x（k）進行采樣率變換，如升采樣率，即提高采樣率L（正整數）倍，升采樣后的序列用Y（m）表示，那么，升采樣前后序列的關系為：

該式表明對輸入信號采樣數據每相鄰兩點之間插入L-1個零．即可實現升采樣率變換。因為抽取是內插的對偶系統，相應地，降采樣前后序列的關系為：

該式表明只要對輸入信號每隔M樣點抽取一個樣點，即可實現降采樣率變換。

變采樣率FIR數字濾波器的設計分為內插FIR濾波器設計和抽取FIR濾波器設計。對內插和抽取濾波器的設計以半帶濾波器為基礎。下面便是設計實例：

半帶濾波器是一種特殊的FIR濾波器，其特征如下：

（1）半帶濾波器的沖激響應除了零點不為零外，在其余偶數點均為零；

（2）半帶濾波器所要求的濾波器模板必須關于f/4對稱．即H（ejπ/2）=0.5，而且濾波器的參數個數必須為奇數；

（3）濾波器的頻率響應以似中心對稱，即

基于半帶濾波器的優點，在半帶濾波器的基礎上設計FIR 濾波器一般采用等波紋逼近法，該方法對同樣的技術指標，能使誤差均勻分布在整個頻帶，而且這種逼近法需要的濾波器階數低，且最大誤差最小。

給定半帶濾波器的設計指標：

通帶截止頻率為20KHz，采樣頻率為88.2KHz，通帶波紋為0.001，阻帶衰減70dB。

根據上述指標，結合其優點，利用Matlab 的信號處理工具中的remez 函數進行FIR 濾 波器的設計。remez 函數利用Parks-McClellan 算法，該算法利用remez 交換算法和切比雪夫逼近理論來設計濾波器，使實際濾波器的幅頻響應最優地擬合理想濾波器的幅頻響應，使它們之間最大誤差最小化。

調用remezord 和remez 函數設計此濾波器， 由調用格式 ［N，fo，ao，w］=remezord（f，m，，rip，Fs）知道，首先根據設計指標確定remezord 函數的調用參數，估算出濾波器的最低階數N ，其返回函數再作為remez 函數的調用參數，再直接編寫程序調用remez 函數得到濾波器單位脈沖響應h（n），得到如圖2 所示的幅頻響應：

圖2變采樣率FTIR濾波器的幅頻響應

通過分析該半帶濾波器的幅頻響應，可以發現該濾波器的通帶和阻帶波紋俱在 0.0015dB 以內，阻帶衰減達到了70dB。

程序運行結果顯示，濾波器階數N=43，基本符合設計要求。

3、 FIR 數字濾波器的FPGA硬件實現

由前面的Matlab 設計已經求得了要求的FIR 濾波器的濾波系數及階數，下面利用FPGA來完成濾波器的硬件實現。FIR 濾波器主要是由乘加單元組成，如果按照直觀結構直接構造 FIR 濾波器會占用大量資源，這顯然是不經濟的。現提出一種利用FPGA 硬件實現濾波的 TOP-DOWN 結構圖，如圖3所示。它采用串行結構實現硬件即將輸入數據直接與其對應的濾波系數相乘，但不需像并行結構中那樣，必須所有的數都相乘完才能相加，而是將前一級乘積鎖存，直接與后一級乘積累加，這樣就可以極大地節約硬件資源，提高執行速度。FIR 數字濾波器系統主要分為數據存儲和數據運算兩大模塊。數據存儲模塊主要功能是以時鐘去控 制片選信號和地址譯碼，在ROM 查找表中讀出與ROM 地址相對應的數據，即為濾波系數，并 將它與對應的輸入信號同步輸出至數據運算模塊。數據運算模塊主要功能就是完成輸入信號與對應濾波系數的相乘和累加。

圖3 FIR濾波囂硬件實現top-down結構圖

4、 結論

由于FPGA具有速率高，面積小，性能可靠等特點，成為數字濾波器工作在很高頻率上的首先硬件實現方案。本文利用Matlab 設計了一個給定指標的適用于變采樣率FIR 濾波器， 并對它進行了FPGA 硬件實現。

本文的創新點：提出一種基于FPGA 實現變采樣率FIR 數字濾波器的硬件實現方案，節約了硬件資源，降低設計成本，具有實用價值。

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