四、LMS算法基本原理

　　根據(jù)小均方誤差準(zhǔn)則以及均方誤差曲面，自然的我們會想到沿每一時刻均方誤差 的陡下降在權(quán)向量面上的投影方向更新，也就是通過目標(biāo)函數(shù)k反梯度向量來反 復(fù)迭代更新。由于均方誤差性能曲面只有一個唯一的極小值，只要收斂步長選擇恰當(dāng)， 不管初始權(quán)向量在哪，后都可以收斂到誤差曲面的小點，或者是在它的一個鄰域內(nèi)。 這種沿目標(biāo)函數(shù)梯度反方向來解決小化問題的方法，我們一般稱為速下降法，表達(dá)式如下：

　　基于隨機(jī)梯度算法的小均方 自適應(yīng)濾波算法的完整表達(dá)式如下：

　　LMS 自適應(yīng)算法是一種特殊的梯度估計，不必重復(fù)使用數(shù)據(jù)，也不必對相關(guān)矩陣 和互相關(guān)矩陣 進(jìn)行運算，只需要在每次迭代時利用輸入向量和期望響應(yīng)，結(jié)構(gòu)簡單， 易于實現(xiàn)。雖然 LMS 收斂速度較慢，但在解決許多實際中的信號處理問題，LMS 算法 是仍然是好的選擇。

　　3 LMS算法性能分析

　　隨機(jī)梯度 LMS 算法的性能前人有過大量研究，按照前一章所提到的自適應(yīng)濾波性能 指標(biāo)，假設(shè)輸入信號和期望信號具有聯(lián)合平穩(wěn)性，詳細(xì)討論基于橫向 FIR 結(jié)構(gòu)的濾波器 的標(biāo)準(zhǔn) LMS 算法的四個性能：一、收斂性；二、收斂速度；三、穩(wěn)態(tài)誤差；四、計算復(fù) 雜度。 只有在輸入信號具有嚴(yán)格穩(wěn)定的統(tǒng)計特性時，權(quán)向量的優(yōu)解是不變的。否則， 將會隨著統(tǒng)計特性的變化而變化。自適應(yīng)算法則能夠通過不斷的調(diào)整濾波器權(quán)向量，使權(quán)向量接近優(yōu)解 。因此，自適應(yīng)算法在平穩(wěn)條件下的性能表現(xiàn)可以認(rèn)為是非平穩(wěn)條件下的一種特殊情況。如果在平穩(wěn)條件下，自適應(yīng)算法能夠快 速，平穩(wěn)的逼近權(quán)向量的優(yōu)值，那么在非平穩(wěn)條件下，該算法也能很好的逼近時變的 權(quán)向量優(yōu)解。

　　五、算法流程

　　下面介紹一下LMS算法的基本流程。

　　1. 初始化工作，為各個輸入端的權(quán)值覆上隨機(jī)初始值；

　　2. 隨機(jī)挑選一組訓(xùn)練數(shù)據(jù)，進(jìn)行計算得出計算結(jié)構(gòu)C；

　　3. 利用公式3對每一個輸入端的權(quán)值進(jìn)行調(diào)整；

　　4. 利用公式1計算出均方差MSE；

　　5. 對均方差進(jìn)行判斷，如果大于某一個給定值，回到步驟2，繼續(xù)算法；如果小于給定值，就輸出正確權(quán)值，并結(jié)束算法。

　　六、算法實現(xiàn)

　　以下就給出一段LMS算法的代碼。

　　［cpp］ view plain copyconst unsigned int nTests =4;

　　const unsigned int nInputs =2;

　　const double rho =0.005;

　　struct lms_testdata

　　{

　　doubleinputs［nInputs］;

　　doubleoutput;

　　};

　　double compute_output（constdouble * inputs，double* weights）

　　{

　　double sum =0.0;

　　for （int i = 0 ; i 《 nInputs; ++i）

　　{

　　sum += weights［i］*inputs［i］;

　　}

　　//bias

　　sum += weights［nInputs］*1.0;

　　return sum;

　　}

　　//計算均方差

　　double caculate_mse（constlms_testdata * testdata，double * weights）

　　{

　　double sum =0.0;

　　for （int i = 0 ; i 《 nTests ; ++i）

　　{

　　sum += pow（testdata［i］.output -compute_output（testdata［i］.inputs，weights），2）;

　　}

　　return sum/（double）nTests;

　　}

　　//對計算所得值，進(jìn)行分類

　　int classify_output（doubleoutput）

　　{

　　if（output》 0.0）

　　return1;

　　else

　　return-1;

　　}

　　int _tmain（int argc，_TCHAR* argv［］）

　　{

　　lms_testdata testdata［nTests］ = {

　　{-1.0，-1.0， -1.0}，

　　{-1.0， 1.0， -1.0}，

　　{ 1.0，-1.0， -1.0}，

　　{ 1.0， 1.0， 1.0}

　　};

　　doubleweights［nInputs + 1］ = {0.0};

　　while（caculate_mse（testdata，weights）》 0.26）//計算均方差，如果大于給定值，算法繼續(xù)

　　{

　　intiTest = rand（）%nTests;//隨機(jī)選擇一組數(shù)據(jù)

　　doubleoutput = compute_output（testdata［iTest］.inputs，weights）;

　　doubleerr = testdata［iTest］.output - output;

　　//調(diào)整輸入端的權(quán)值

　　for （int i = 0 ; i 《 nInputs ; ++i）

　　{

　　weights［i］ = weights［i］ + rho * err* testdata［iTest］.inputs［i］;

　　}

　　weights［nInputs］ = weights［nInputs］ +rho * err;

　　cout《《“mse：”《《caculate_mse（testdata，weights）《《endl;

　　}

　　for（int w = 0 ; w 《 nInputs + 1 ; ++w）

　　{

　　cout《《“weight”《《w《《“：”《《weights［w］《《endl;

　　}

　　cout《《“\n”;

　　for （int i = 0 ;i 《 nTests ; ++i）

　　{

　　cout《《“rightresult：êo”《《testdata［i］.output《《“\t”;

　　cout《《“caculateresult：” 《《 classify_output（compute_output（testdata［i］.inputs，weights））《《endl;

　　}

　　//

　　char temp ;

　　cin》》temp;

　　return 0;

　　}