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從1870年開始，分析的概念框架發生了革命性的變化，最終導致了對諸如函數、連續性、可微性和可積性。
先前的觀點認為，分析中的相關函數是由公式或其他“分析”表達式給出的，這些函數本質上是連續的（或幾乎是連續的），這些函數必然對大多數點都有導數，而且這些函數可以通過公認的整合方法——所有這些想法都在該主題中出現的各種例子和問題的重壓下開始讓步，這些例子和問題不可忽視，需要理解新的概念。與這些發展相平行的是新的見解，這些見解既更加幾何又更加抽象：對曲線的性質、曲線的可糾正性及其范圍有了更清晰的理解；同時也是集合論的開始，從直線、平面等的子集開始，以及可以分配給每一子集的“度量”。
這并不是說，對改變這些進展所需要的觀點沒有多少阻力。自相矛盾的是，當時一些著名的數學家，那些本應最能欣賞新離任的人，卻屬于最持懷疑態度的人。新思想最終勝出，可以從現在可以解決的許多問題來理解。在這里，我們將不精確地描述幾個最重要的此類問題。
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