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使用MATLAB實(shí)現(xiàn)有限域的基礎(chǔ)知識介紹

2020-11-24 | rar | 0.02 MB | 次下載 | 免費(fèi)

資料介紹

  1.1 有限域( Galois 域)的構(gòu)造

  令p 為一個素數(shù)。 則對任意的一個正整數(shù)n,存在一個特征為p,元素個數(shù)為pn 的有限域GF(pn)。

  注: 任意一個有限域,其元素的個數(shù)一定為pn,其中p 為一個素數(shù)(有限域的特征), n 為一個正整數(shù)。

  例1(有限域GF(p)) 令p 為一個素數(shù),集合GF(p)=Zp={0,1,2, ?p-,1}。在GF(p) 上定義加法⊕ 和乘法⊙ 分別為模p 加法和模p 乘法,即任意的a,b∈GF(p),a⊕b=(a+b)modp, a⊙b=(a?b)modp則《GF(p),⊕,⊙》 為一個有p 個元素的有限域,其中零元素為0,單位元為1.令a 為GF(p) 中的一個非零元素。 由于gcd(a,p)=1,因此,存在整數(shù)b,c,使得ab+pc=1. 由此得到a 的逆元為a- 1=bmodp.域GF(p) 稱為一個素域(prime field)。

?

  例注1: 給定a 和p,例1 中的等式ab+pc=1 可以通過擴(kuò)展的歐幾里得除法得到,從而求得GF(p) 中任意非零元素的逆元。

  例2(有限域GF(pn)) 從GF(p) 出發(fā),對任意正整數(shù)n,n≥2,我們可以構(gòu)造元素元素個數(shù)為pn 的有限域GF(pn) 如下:

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