繼上一篇文章《淺談新能源汽車NVH—永磁同步驅動電機徑向電磁力致噪聲的來龍去脈》 在模態空間公眾號發布之后，許多NVH前輩和同學添加了我的微信和我交流，有一些問題被反復地討論到，這其中主要是關于氣隙電磁力波的空間分布以及隨時間變化的頻率特性方面的問題，例如：為什么對電磁力空間分布的數據進行傅里葉分解就能得到所謂空間階數、這個階數和“力型”是怎樣的關系、電磁力波在氣隙中究竟是怎樣的存在形式，為什么電磁力波空間形狀會保持不變等等。所以我決定針對電磁力波的時空特性做一點補充。

1、從傅里葉說起

這里真的要推薦一下一篇文章《如果看了這篇文章你還不懂傅里葉變換，那就過來掐死我吧》（自行上網搜索即可），全文看完我就記住了一句話“你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章。”，哈哈。以下我只放一個維基百科的動圖，來幫助讀者深刻理解傅里葉變換的本質。

任何周期信號都可以分解成以三角函數為基波及其高次諧波的組合，這便是我們所說的傅里葉級數分解；任意信號都可以分解為具有所有頻率成分的無限多個無限小的諧波的組合，這便是我們所說的傅里葉變換；還記得我們學振動力學時候，對于線性系統的強迫振動的分析方法嗎，不就是利用我們上述的原理，將激勵分解成一系列的諧波，分別求出諧波對系統的響應，再利用疊加原理合成我們總的響應。好了，這里只說這么多，相信我推薦的那篇文章講得很透徹，這里只是為下面介紹電磁力波的時空特性做一點鋪墊。

2、空間階次與力型

在之前的文章里面已經寫過了，但是有一些讀者還是沒有理解如何由電磁力的空間分布函數通過傅里葉分解得到所謂的“力型”，這里做更詳細的解釋。

某一時刻電機氣隙電磁力沿機械角度的一個分布如圖2所示：

顯然，電磁力沿電機機械角度的分布是具有一定周期規律的，這里我們將極坐標下函數圖像轉換到直角坐標系下，也就是將上圖力波幅值沿電機機械角度分布的轉換為以橫坐標為角度，縱坐標為幅值的力波幅值隨角度變化的信號，如圖3：

上圖是一個周期函數，有了上圖的數據，我們就可以通過傅里葉變換將其分解為各次空間諧波的組合，能得到的是一系列以階次為橫坐標的諧波，0°到360°空間角度內存在0個周期的諧波我們稱之為0次諧波，即一條直線，也稱之為0階；僅有一個周期的諧波我們稱之為一次諧波，即一階；僅有兩個周期的稱之為2次諧波，即2階，依此類推。所謂幾階，實際上指的就是諧波在0°到360°內存在的周期數。如果對階次域這個概念熟悉的話，你會發現，這里的變換本質上就是角度域的數據通過傅里葉變換到階次域。變換過程如圖4所示：

如果你對階次域不熟悉的話，讓我們換一個角度來看，從采樣的角度來考慮，假定上圖0°到360°的數據我們一秒鐘采集完，也就是上面的數據變成了一個時長1秒的時域信號（即角度域的數據轉換到時域，它們之間有對應關系），對其傅里葉變換，得到了它的頻譜，即分解成了一系列的時間諧波。這就是大家根深蒂固的通過傅里葉變換實現時域到頻域的轉換。

那么這一秒內存在一個周期的時間諧波就對應頻譜上的1Hz，一秒內存在兩個周期的時間諧波就對應頻譜上的2Hz，依此類推，這里的頻譜就和上述的階次譜是相對應的。頻譜的0Hz對應時域一條直線，一秒內0個周期，即對應空間0階；頻譜1Hz對應時域頻率為1Hz的時間諧波，一秒內一個周期，對應空間1階；頻譜2Hz對應時域頻率為2Hz的時間諧波，一秒內兩個周期，對應空間2階。那么假如我是兩秒采集完呢，也就是我們上述0°到360°角度域數據轉換為一個兩秒的信號，同樣的，那就是頻譜0.5Hz對應為1階，1Hz對應為2階，說白了我們關心的只是總時長內（空間角度一周）諧波的周期數而已，有一個周期就是一階，兩個周期就是二階，這里的本質就是我們第一小節講的任何周期信號都可以分解成以三角函數為基波及其高次諧波的組合，傅里葉變換本身是數學工具，不要被人為添加的物理意義而迷惑了。

到這里，我們已經得到了空間階次了，有不少討論者問我得到了空間階次頻譜怎么得到“力型”呀，這里如果你對空間階次怎么得到的過程非常清晰的話，就不會有這個問題了。

我們將極坐標下的角度域數據轉換成直角坐標系下的數據，通過傅里葉分解成一系列的諧波，那么我們再把這些直角坐標系下的諧波畫到極坐標系下就得到了所謂的“力型”。如圖5所示：

后面的高次力波也是按照這樣的規律就可以得到所謂的“力型”，仔細看看這些力型，你會發現幾階力型不就是0°到360°內幾個周期的正弦波在極坐標下的轉換圖形嘛，所以這里的空間階次、所謂“力型”就是一個東西，這里面極坐標和直角坐標的變換、角度域與階次域的變換需要好好理清楚，引入時域到頻域的變換只是為了幫助理解，因為很多時候我們對通過傅里葉從時域轉換到頻域這一認知根深蒂固，而對角度域轉換到階次域相對陌生，尤其是學電機的工程人員，對階次這個概念相對陌生。

3、電磁力波的時間頻率

我們知道，電磁力波不僅僅是空間的函數，更是時間的函數，沿電機機械角度方向氣隙各點的電磁力大小在隨時間不停的變化，那么問題來了，我們一方面說電磁力波沿著空間分布有一定的形狀，還給它取了個好聽的名字叫“力型”，一方面又說沿電機圓周方向各點的電磁力大小隨時間一直在變化，這個變化會打破他們的“隊形”序列嘛？當然不會，當各點的電磁力幅值大小按照一定的相位和頻率脈振時，宏觀上來看，電磁力波的形狀是不會改變的，但是它會旋轉起來，這正是電磁力波隨時間變化的體現。正是這些各個點的電磁力都按照同一頻率和初始相位關系在不停的脈振變化，讓電磁力形狀得以保持，不停地勻速旋轉，以電機二階徑向力波為例，來看看圖6：

看了這個動圖，相信大家對電磁力在時間和空間上的特性有了非常直觀的了解，你會發現電磁力波的時間頻率和所謂“力型”的轉速之間是存在特定關系的，事實上它們和電機轉速之間都存在著特定的關系，這都來源于電機電流隨時間的變化，也正是它們之間這些特定的關系（電磁力波頻率與電機轉速的特定關系），讓我們可以在測試瀑布圖上能夠以階次特征捕捉到這些電磁力波。

好了，以上就是我根據之前和一些讀者的討論作的一些更為詳細的補充。限于篇幅，也因為本人的學識水平有限，文中難免出現表述不當，甚至有錯誤的地方，懇請各位讀者專家們不吝指正，以便我及時更正，同時也提高自身的認知水平。

感謝您的閱讀！

作者簡介

朱碧華，華中科技大學機械科學與工程學院在讀碩士研究生。私人微信：zbh1103450573歡迎各位前輩和同學指正和交流（請備注姓名和單位，謝謝）

本文轉自：對《永磁同步驅動電機徑向電磁力致噪聲的來龍去脈》一文的補充

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