傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號(hào)處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號(hào)分解成幅值分量和頻率分量）。傅里葉變換能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。傅里葉變換是一種解決問(wèn)題的方法，一種工具，一種看待問(wèn)題的角度。理解的關(guān)鍵是：一個(gè)連續(xù)的信號(hào)可以看作是一個(gè)個(gè)小信號(hào)的疊加，從時(shí)域疊加與從頻域疊加都可以組成原來(lái)的信號(hào)，將信號(hào)這么分解后有助于處理。我們?cè)瓉?lái)對(duì)一個(gè)信號(hào)其實(shí)是從時(shí)間的角度去理解的，不知不覺(jué)中，其實(shí)是按照時(shí)間把信號(hào)進(jìn)行分割，每一部分只是一個(gè)時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)信號(hào)值，一個(gè)信號(hào)是一組這樣的分量的疊加。傅里葉變換后，其實(shí)還是個(gè)疊加問(wèn)題，只不過(guò)是從頻率的角度去疊加，只不過(guò)每個(gè)小信號(hào)是一個(gè)時(shí)間域上覆蓋整個(gè)區(qū)間的信號(hào)，但他確有固定的周期，或者說(shuō)，給了一個(gè)周期，我們就能畫(huà)出一個(gè)整個(gè)區(qū)間上的分信號(hào)，那么給定一組周期值（或頻率值），我們就可以畫(huà)出其對(duì)應(yīng)的曲線，就像給出時(shí)域上每一點(diǎn)的信號(hào)值一樣，不過(guò)如果信號(hào)是周期的話 ，頻域的更簡(jiǎn)單，只需要幾個(gè)甚至一個(gè)就可以了，時(shí)域則需要整個(gè)時(shí)間軸上每一點(diǎn)都映射出一個(gè)函數(shù)值。傅里葉變換就是將一個(gè)信號(hào)的時(shí)域表示形式映射到一個(gè)頻域表示形式；逆傅里葉變換恰好相反。這都是一個(gè)信號(hào)的不同表示形式。它的公式會(huì)用就可以，當(dāng)然把證明看懂了更好。對(duì)一個(gè)信號(hào)做傅里葉變換，可以得到其頻域特性，包括幅度和相位兩個(gè)方面。幅度是表示這個(gè)頻率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意義？頻域的相位與時(shí)域的相位有關(guān)系嗎？信號(hào)前一段的相位（頻域）與后一段的相位的變化是否與信號(hào)的頻率成正比關(guān)系。傅里葉變換就是把一個(gè)信號(hào)，分解成無(wú)數(shù)的正弦波（或者余弦波）信號(hào)。也就是說(shuō)，用無(wú)數(shù)的正弦波，可以合成任何你所需要的信號(hào)。想一想這個(gè)問(wèn)題：給你很多正弦信號(hào)，你怎樣才能合成你需要的信號(hào)呢？答案是要兩個(gè)條件，一個(gè)是每個(gè)正弦波的幅度，另一個(gè)就是每個(gè)正弦波之間的相位差。所以現(xiàn)在應(yīng)該明白了吧，頻域上的相位，就是每個(gè)正弦波之間的相位。傅里葉變換用于信號(hào)的頻率域分析，一般我們把電信號(hào)描述成時(shí)間域的數(shù)學(xué)模型，而數(shù)字信號(hào)處理對(duì)信號(hào)的頻率特性更感興趣，而通過(guò)傅立葉變換很容易得到信號(hào)的頻率域特性。傅里葉變換簡(jiǎn)單通俗理解就是把看似雜亂無(wú)章的信號(hào)考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦（余弦）信號(hào)組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基本正弦（余弦）信號(hào)中振幅較大（能量較高）信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻率，從而找出雜亂無(wú)章的信號(hào)中的主要振動(dòng)頻率特點(diǎn)。如減速機(jī)故障時(shí)，通過(guò)傅里葉變換做頻譜分析，根據(jù)各級(jí)齒輪轉(zhuǎn)速、齒數(shù)與雜音頻譜中振幅大的對(duì)比，可以快速判斷哪級(jí)齒輪損傷。拉普拉斯變換，是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換。它是為簡(jiǎn)化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對(duì)一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來(lái)求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對(duì)于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來(lái)處理，從而使計(jì)算簡(jiǎn)化。在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)，是可采用傳遞函數(shù)代替微分方程來(lái)描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡(jiǎn)便的圖解方法來(lái)確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性（見(jiàn)信號(hào)流程圖、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖）、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程（見(jiàn)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡法），以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置（見(jiàn)控制系統(tǒng)校正方法）提供了可能性。拉普拉斯變換在工程學(xué)上的應(yīng)用：應(yīng)用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數(shù)方程，使問(wèn)題得以解決。在工程學(xué)上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個(gè)信號(hào)從時(shí)域上，轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域（s域）上來(lái)表示；在線性系統(tǒng)，控制自動(dòng)化上都有廣泛的應(yīng)用。在數(shù)字信號(hào)處理中，Z變換是一種非常重要的分析工具。但在通常的應(yīng)用中，我們往往只需要分析信號(hào)或系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，也即是說(shuō)通常只需要進(jìn)行傅里葉變換即可。那么，為什么還要引進(jìn)Z變換呢？