描述

什么是非線性共振？

共振被定義為一種物理現象，其中動態系統的響應由于施加的周期性力而達到最大幅度。然而，什么是動力系統和周期力？在深入實驗之前，將在以下幾行中提供簡要說明，以展示概念上的直覺。

**** 請注意，具有物理或數學背景的讀者可以跳過介紹的第一部分，直接進入項目目標和實驗。

1.動力系統

名詞用于表示日常物品。例如，如果人們觀察到在高速公路上行駛的由四個輪子支撐的組裝金屬片，就會想到汽車這個詞。定性描述讓我們無需花費太多腦力就可以交流和描述日常物品。盡管非常有用，但定性表示并沒有考慮到我們周圍環境的全部復雜性。當需要具體細節時，量化變得必要。分配了一組物理值，如尺寸、溫度、質量，以進一步澄清。在大多數情況下，分配給對象的量化值隨時間保持不變。然而，特殊類型的對象需要不同形式的量化來表示它們的全部復雜性。具體來說，用作描述的量化值不會隨著時間的推移保持不變。例如，一朵花的精確尺寸不能取一個特定的值，因為它在任何時候都在緩慢地進化。它需要一個函數來描述維度如何演變。也就是說，花就是我們所說的動力系統。自然界中存在許多其他例子，從而產生了令人著迷的行為。

動力系統的日常示例：

-擺動擺（勢能和動能之間的恒定周期性變化）

-人口增長（由于捕食者/獵物的相互作用和繁殖，人口的持續周期性增加和減少）

-人腦（神經元細胞中化學信號濃度的持續周期性變化）

2.周期力

力量引起變化。它通常被稱為能量轉移，給定物體改變其自然狀態。例如，如果朝給定方向施加很小的力，坐在桌子上精確位置的一杯茶會發生變化。當施加的刺激隨時間不恒定時，力就會變成周期性的。例如，每次達到最大高度時推動坐在擺錘上的孩子被認為是周期性的，因為外部動作僅在特定時刻發生。正是這種周期性的外部作用導致系統或對象發生變化，稱為周期性力。

周期性力或刺激的日常示例：

-人類感官- 光波與眼睛的光感受器相互作用并允許視覺。聲波刺激耳膜，使音樂愉悅。

-季節- 影響生物生態系統的溫度等環境條件的周期性變化。

-交流電- 改變電子電路內部動態的周期性輸入信號。

現在對動力系統和周期性擾動的原理有了簡要的了解，我們不得不懷疑動力系統由于周期性刺激而可能表現出的響應。例如，如果外部推動的幅度不斷增加到無窮大，而施加的頻率與擺的自然擺動頻率完美匹配，那么坐在擺擺上的孩子會發生什么？毫無疑問，大自然能夠做出令人震驚的反應！

3.共振

當動態系統的振幅由于施加的周期性力而被驅動到最大值時，就會發生共振。例如，即使在正確的時刻施加了最小的力，擺錘的幅度也會急劇增加。例如，當且僅當孩子在擺錘的勢能處于最大值時周期性地施加外部推力時，發現自己坐在擺動的鐘擺上，而孩子施加最小的推動力，仍會將擺動幅度增加到最大值。在這種情況下，孩子的外部動作被稱為在擺錘上引起共振。

畢竟，我們為什么要關心共振現象呢？

令人驚訝的是，我們的生活在很多方面都依賴于共振：

• 電信- 無線電通信是通過作用在電子電路上的電磁信號的共振作用而發生的。

• 核磁共振- 電磁場對原子核的共振作用可以獲取有關各種化學和生物材料的物理信息。

• 塔科馬窄橋災難- 忽視共振的力量可能會導致意外故障。例如，小風擾動導致塔科馬窄橋倒塌。請注意，共振是否是災難的根本原因仍然存在爭議。無論如何，塔科馬大橋災難表明，由于小的周期性擾動，通常會表現出令人驚訝的反應性質。

• Chladni 板實驗- 聲音在具有沙子的振動板上的感應作用，根據振動頻率創建美麗的幾何圖案。該實驗使與振動性質相關的幾何圖案栩栩如生。

• 酒杯因聲音的作用而破碎- 該實驗展示了聲波在酒杯上引起共振并因此導致酒杯破碎的能力。

• 共振在音樂中的重要性——麻省理工學院的 Walter Lewin 博士進行了一次非常足智多謀的講座，展示了共振在音樂中的作用。

我們如何通過實驗觀察共振？

在許多可用于研究諧振的方法中，電子電路作為一種有效的實驗模型出現，因為可以通過改變組件的電子特性輕松修改電路的動態特性。1983 年，Leon O. Chua提出了表現出混沌行為的最簡單的電路配置之一。換句話說，蔡氏電路表現出復雜的非線性行為，并作為一個完美的實驗系統出現，可以進一步深入了解非線性共振。

本項目探討了受各種輸入信號影響的 Chua 電路中的非線性諧振。具體而言，能夠在蔡氏電路系統中引起最大幅度響應的可能外部信號是什么？答案的路徑分為三個部分：

1)首先，從理論上回顧各種共振形式的理論原理。Mathematica軟件將被用作允許達到理論直覺的計算環境。

2)在闡明了解釋共振現象的理論參數之后，將通過使用LTspice的電路仿真來探索蔡氏電路。

3)最后，將按照 Chua 的設計，通過設計和制造 PCB 板來收集實驗測量結果。設計過程將使用Eagle軟件進行。電路的生產將依賴JLC PCB作為制造廠。組裝完成后，將使用信號發生器使電路承受各種輸入信號，并使用示波器測量輸出響應。

總體而言，本項目將引導年輕學生或好奇的個人使用蔡氏電路作為實驗系統更多地了解共振現象。此外，對于想要探索電子電路中的混亂行為的個人來說，Chua 電路的設計過程可能會變得非常豐富。如果需要有關所遵循的程序和基礎理論的更多信息，將在每個實驗步驟中提供文獻和教程。

補給品

用于實驗的工具和組件：

• Eagle PCB 設計軟件

• 用于電路仿真的 SPICE

• 示波器- 使用 Siglent 的 SDS 1052DL+ 進行實驗，但也可以使用其他測量方法。

• 信號發生器- Rigol 的 DG4102 用于實驗，但任何更便宜的替代品都可以。

• Mathematica -可以使用任何其他計算環境，例如Matlab 。

• PCB 制造商- PCB 板通過 JLC PCB 訂購，但可以使用任何其他公司。隨意貨比三家。

• 模擬示波器可用于進一步了解電路的混亂行為。

電子元件：

• 運算放大器TL082（2 個運算放大器/IC）或TL084（4 個運算放大器/IC）
• 電阻器22Kohms - 220Ohms - 2.2Kohms - 3.3Kohms - 1Kohms - 100Ohms
• 電容0.1uF - 0.01uF
• 電感器18mH (Bourns)或18mH (Fastron)
• 電位器2Kohms或2.5Kohms
• 9V 電池連接器
• 滑動開關
• 電源插孔連接器
• BNC 連接器

第 1 步：Mathematica 中的理論

目標：

1) 非線性共振的已知形式是什么？

2) 用于描述和解釋蔡氏電路共振的參數是什么？

建立計算環境

1)訪問 Mathematica --> Mathematica 15 天試用

2)輸入您的信息后，將向您發送一封電子郵件，為您提供激活密鑰。如果您尚未在計算機上下載 Mathematica 軟件，電子郵件中也會提供下載鏈接。或者，您可以利用云環境來編譯筆記本。

3)從Github 項目存儲庫(ResonanceTheory.nb) 下載 Mathematica 筆記本。請注意，筆記本是理論思想的實驗場所，因此在不斷進步。因此，每個示例的代碼可能并不總是最優的。

4）通過筆記本探索與各種非線性共振響應配對的動力系統的定量解釋。隨意嘗試各種參數以獲得進一步的見解。

*** 關于 Wolfram 語言的更多信息可以在 Wolfram文檔中心找到。

分析的討論和結論

現在已經在 Mathematica 中獲得了一些理論直覺，讓我們得出一些初步結論。

1) 已知的共振類型

- 隨機共振

噪聲引起的現象

量化方法：頻率響應 (Q)、平均駐留時間、開關率、信噪比 (SNR)

當需要精度時，直觀地假設噪聲會分散和干擾。然而，隨機共振證明相反。如果雙穩態系統受到頻率為 W 和最小振幅 A 的外部周期力，系統將無法在一個穩定平衡和缺乏外部能量之間交替。然而，當將噪聲添加到外部周期力時，在輸入頻率 W 處測量的信噪比變得最大。結果，系統周期性地從一個電位平衡躍遷到另一個電位平衡。這種噪聲作用被稱為隨機共振。

- 振動共振

高頻力現象

量化 --> 頻率響應 (Q)，平均等待時間 (Tmw)

與隨機共振相反，振動共振不需要雙穩態系統來引發最大響應。換句話說，振動共振可以在可能平衡狀態高于兩個的動態系統中引起。在隨機共振中發現的噪聲項被高頻力所取代，該力允許系統在相空間中廣泛地從穩定和冒險過渡。這種由高頻力引起的轉變通常與可興奮系統（如生物組織）的最大響應有關。

- 幽靈共鳴

意外頻率現象

量化 --> 頻率響應 (Q)，平均等待時間 (Tmw)。

如果將隨機共振和振動共振的基本原理結合起來會怎樣？令人驚訝的是，將兩個周期性力與噪聲閾值相結合，會在輸入驅動力缺失的頻率處產生最大響應。即，輸出信號以輸入中不存在的頻率放大。因此，鬼頻率響應可以由噪聲強度（鬼隨機共振）或高頻力（鬼振動共振）觸發。

- 相干共振

孤獨的噪音現象

量化 --> 功率譜、時間相關函數、脈沖之間的時間 (Tp)、偏移時間 (Te)、激活時間 (Ta)

相干共振與隨機共振具有相似性。添加達到特定閾值的小噪聲強度會引起系統的最大幅度響應。與隨機共振相反，相干共振不需要周期性的力。只有噪聲能夠在動力系統上引起共振。

- 自共振

鎖相現象

量化：頻率掃描速率/啁啾速率

自共振產生于具有隨時間變化的頻率的外部驅動力。具體而言，從動系統不斷調整其振蕩幅度，使振蕩周期與驅動力周期保持“鎖相”。結果，系統被迫達到極高的幅度。令人驚訝的是，即使系統的參數發生變化，自諧振的鎖相機制也會發生。事實上，參量自諧振也可以只作用于一個或多個系統參數。因此，系統在自諧振下的行為變得依賴于外部驅動力。人們可能想知道觀察遠距離系統之間的鎖相現象的可能性。

- 參數共振

系統參數的定期更改

量化：功率譜、頻率響應 (Q)

參量共振的特性與其他需要外部驅動力的共振有著根本的不同。當參數共振的一個或多個系統參數隨時間周期性變化時，會出現最大幅度響應。例如，當變化率達到特定閾值時，具有呈現周期性變化的固有頻率的系統將具有最大幅度響應。參量共振也可能來自其他參數的周期性，例如剛度、阻尼、密度等。

***請注意，提供的示例只是可能發生共振的一小部分。此外，這些示例沒有采用振蕩器系統的量子物理學解釋，這使得許多令人驚訝的現象成為可能。對于想要了解更多信息的好奇者，可以在這里找到一本提供有關理論和廣泛實驗觀察的深入信息的書。

2) 感興趣的參數

解釋蔡氏電路系統中共振的感興趣的參數可以分為兩類。一組描述電路行為（系統）的參數和描述輸入信號（力）的參數。

系統參數：

描述隨時間變化的電路狀態的參數可以根據發現在電子電路中發生混沌所必需的三個標準進一步分類。* :

1)一個或多個非線性元件 --> Chua's Diode 組成：

- 運算放大器

在提供的方程中找到的參數M0和M1的值來自不同的設計配置，并且對于描述電路的非線性特性變得至關重要。

2)一個或多個本地有源電阻（蔡氏二極管子電路內的負電阻）：

- 電阻器R1、R2、R3、R4、R5、R6

3）三個或更多儲能元件：

電感L1

電容C1

電容C2

總之，電路的動態狀態變得可以用三個變量來描述：

- 電容器 C1 兩端的電壓 = (V1) 或 (X)

- 電容器 C2 兩端的電壓 = (V1) 或 (Y)

- 電感 L1 上的電流 = (I) 或 (Z)

電路的時間演化由提供的視覺效果中的三個常微分方程描述。此外，電阻器的非線性特性在數學上由函數f(V1)表示，根據所選擇的電路配置，該函數可能具有不同程度的復雜性。

*** 深入的理論討論與實驗證明了從線性 RLC 電路到非線性 Chua 電路的演變，能夠進行混沌行為，可以在這里和這里找到。另一個有用的資源提供有關蔡氏電路實施的理論見解，可在以下內容中找到

書。

輸入信號參數

現在已經確定了描述 Chua 電路的動態行為和已知諧振類型的系統參數，讓我們澄清在選擇輸入信號的屬性時要考慮的參數。正如您現在可能已經推斷的那樣，輸入參數的范圍根據各種類型的共振進行分類。

隨機共振--> 周期性力與噪聲配對。

- 幅度 (A1)

- 頻率（f1）

- 噪聲方差/強度 (D)

** 可能需要附加參數來表示復雜的噪聲函數。

Vibrational Resonance --> 雙諧波力由低頻力和高頻力組成。

- 幅度 (A1)

- 頻率 (f1) 其中 (f1 < f2)

- 幅度 (A2)

- 頻率 (f2) 其中 (f2 > f1)

Ghost Resonance --> 與噪聲項配對的周期性力的總和。

- 幅度 (An) - 其中 n 取決于力的數量。

- 頻率 (fn) - 其中 n 取決于力的數量。

- 噪聲方差/強度 (D)

** 引起鬼共振的外部信號可能具有不同程度的復雜性。可能需要附加參數。

Coherence Resonance --> 僅噪聲項。

- 噪聲方差/強度 (D)

** 噪聲可以以不同程度的復雜性引起，因此可能需要額外的參數。

Autoresonance --> 驅動力的頻率隨時間變化。

- 幅度 (A1)

- 時間相關頻率 (f(t))

** 力頻率的演變可以以多種形式出現，并且可能需要額外的參數。

參數共振——>沒有外部擾動。

感興趣的參數描述了系統參數的時間演變，而不是外部擾動。

- 自然頻率的時間演化 (w(t))

- 采樣的時間演化 (d(t))

*** 因此，動態系統可能表現出的各種可能的復雜性可能需要額外的參數。

第 2 步：使用 LTSpice 進行電路仿真

目標：

1) 哪些輸入信號參數可以在蔡氏電路系統中引起振動共振？

2) 需要哪些信號分析技術來解釋電路的響應？

*** 本節不作為 LTSPICE 教程，主要側重于描述項目期間遵循的程序。但是，如果希望進一步了解LTSPICE提供的功能，下面提供了教程和資源的鏈接。

LTSPICE 資源：

LTSpice 下載鏈接

導入模型

仿真過程中的步進參數

用戶自定義輸入功能

導入/導出結果

使用波形查看器進行輸出分析

LTSpice 論壇

制作仿真 NETLIST / 電路圖

幸運的是，LTSpice 帶有友好的用戶界面，允許使用傳統電子元件制作原理圖，而無需通過計算機代碼表示電路：

1）在電路圖工作空間內收集必要的組件：

- 兩個 22Kohms 電阻。

- 兩個 220 歐姆電阻。

- 一個 3.3Kohms 電阻。

- 一個 2.2Kohms 電阻。

- 一個 2.0K 電阻。（電位器）

- 一個 10nF 電容器。

- 一個 100nF 電容器。

- 一個 18mH 電感。

- 兩個電壓輸入。

- 一地。

- 運算放大器：由于 LTSPICE 中的默認庫中沒有 TL082，因此可以使用 LT1057 或 LT1113 來模擬電路。或者，可以在設計環境中下載和導入 TL082 的 SPICE 模型。可以在此處和此處找到有關導入模型時要遵循的程序的更多詳細信息。此外，可以從這里下載已經使用 TL082 設計的 Chua 電路（非常有見地的資源）。

2)按照提供的 Chua 設計連接每個組件。此外，確保為每個組件分配正確的值。

3)由于代表電路狀態的相關參數是電容器 C1、電容器 C2 兩端的電壓和電感器 L 兩端的電流，因此相應地添加了電壓探針。

4)現在讓我們探討改變位于電容器 C1 和電容器 C2 之間的電阻器 R7 的值的影響。一旦達到特定的電阻閾值，電路就會表現出混亂的行為。為了觀察雙渦旋混沌特征，電容 C1 兩端的電壓 (V(vc1) probe) 必須繪制在水平軸上，電容 C2 兩端的電壓 (V(vc2)) 繪制在垂直軸上。

仿真參數設置如下：

類型：瞬態

-停止時間： 0.10

-開始保存數據的時間： 0

-最大時間步長： 1E-5

從仿真中獲得的混沌簽名證實了生成的網表符合 Chua 的電路特性。R7 引起的最佳混沌行為的電阻值似乎集中在 1.5KOhms 左右。然而，當電阻值低于 1.485 KOhms 和高于 1.965 KOhms 時，系統的動態會發生劇烈變化。盡管本仿真的目的不是研究混沌，但請隨意探索 R7 的電阻值如何影響電路的混沌行為。

在 LTSPICE 中觀察共振

以下程序將主要側重于探索振動共振，以盡量減少項目的長度。但是，也可以通過調整輸入信號參數來研究其他類型的諧振。(A1, f1, A2, f2)

振動共振（高頻力）

振動共振的作用是通過添加高頻(f2)周期力(F2)在與低頻驅動力(F1)的外部頻率(f1)匹配的頻率處發現的輸出信號的增強幅度.

模擬參數：

-類型：瞬態

-停止時間： 100 毫秒

-開始時間： 50ms

-最大時間步長： 1*10^-5

系統參數：

為模擬選擇的系統參數可以從提供的模擬示意圖中得出。

輸入參數：

力量 1 (F1)

- 幅度 (A1) = (0.3 V, 0.8 V, 1.3 V, 1.8V)

- 頻率 (f1) 必須 <(f2) = (50 Hz, 100 Hz, 150 Hz, 200 Hz)

力量 2 (F2)

- 幅度 (A2) = (0.5 V、1.5 V、2.5 V、3.5 V)

- 頻率 (f2) 必須 >(f1) = (500 Hz, 1500 Hz, 2500 Hz, 3500 Hz)

預期結果/假設：

- 在快速傅里葉變換分析 (FFT)下，當參數 (A2) 和 (f2) 達到特定值時，頻率匹配 (f1) 處的輸出信號幅度將最大化。

- 在幅值響應分析下，只有當參數(A1)、(A2)、(f1)、(f2)達到特定閾值時，輸出信號的幅值才會達到最大值。

- 在時間序列分析下，電容器 1 (V1) 兩端的電壓狀態將在 (V1 < 0) 和 (V1 > 0) 之間周期性切換，其周期等于頻率 (f1) 周期的一半，一旦參數 (A2) 和 ( f2) 達到特定值。

觀察：

快速傅里葉變換 (FFT) 分析：

1)隨著參數 (f2) 從 500 Hz 增加到 3500 Hz，每增加 1000 Hz，輸出信號 (V1) 在 (f1 = 100Hz) 的幅度在 (f2) 等于 1500 Hz 時達到最大值。

2)隨著參數 (A2) 從 0.5 V 增加到 3.5 V，增量為 1.0 V，輸出信號 (V1) 在 (f1 = 100 Hz) 的幅度在 (A2) 等于 0.5 V 時達到最大值。

3)隨著參數 (f1) 從 50 Hz 增加到 200 Hz，增量為 50 Hz，當 (f1) 達到 200 Hz 時， (f1) 處的輸出信號 (V1) 的幅度達到最大值。

4)隨著參數 (A1) 從 0.3 V 增加到 1.8 V，增量為 0.5 V，輸出信號 (V1) 在 (f1 = 200 Hz) 的幅度在 (A1) 等于 1.8 V 時達到最大值。

幅度響應 (Q) 分析：

- 收集以 dBV 為單位報告幅度的 FFT 數據。

- 將幅度從 dBV 轉換為 V。 (V = 10exp(dBV / 20))

- 計算幅度響應 (Q)，其中 Q = (輸出幅度 (V) / 輸入幅度 (A1))

1)第一次分析獲得的結果與模擬期間獲得的數據相關。具體而言，響應振幅Q在高頻力值(f2)為1500Hz左右時達到最大閾值。

2)同樣，在第二次幅度響應分析期間獲得的結果表明，幅度響應 Q 隨著高頻力(A2)的幅度減小而增加。

*** 用于從 LTSpice 收集模擬結果并生成幅度響應圖的 Excel 表可在此處下載。可以遵循相同的分析程序，以進一步了解其他參數的最佳值。

時間序列分析：

隨著高頻力 (A2) 的幅度從 0.00V 增加到 1.50V，系統經歷從 V1 < 0 和 V1 > 0 的周期性切換。計算 V1 = + 和 V1 = - 的平均停留時間證明一旦 (A2) 達到臨界值，MRT+ 就等于 MRT-。此外，在 (A2) 這樣的臨界值下，V1>0 和 V1<0 之間的周期性切換變為低頻力周期的一半（周期性切換 = 1/2*(1/f1)）。

*** 可以在此處獲得有關振動共振時間序列特征的更多信息。

第 3 步：硬件設計和組裝

目標：

1) 使用Eagle設計 Chua 的電路 PCB 。

2) 將制造文件提供給JLC PCB進行生產并從Mouser訂購所需的組件。

3) 組裝電路。

Eagle 通用教程鏈接：

如需進一步了解 Eagle 的功能，請隨時瀏覽下面的教程鏈接。

• 入門第 1 部分
• 入門第 2 部分
• 電路仿真

Eagle中的電路原理圖

1)在 Eagle 主頁的項目部分下創建一個新文件夾。

2)通過右鍵單擊項目文件夾并選擇 NEW --> SCHEMATIC 創建原理圖設計文件。

3)創建新原理圖時的第一個任務是在設計工作區中導入一個框架。選擇 ADD-PART 按鈕并搜索框架庫。（FRAME_A_L 尺寸為 8 1/2 * 11 英寸，景觀）被選中用于該項目。

4)現在必須從可用的庫中選擇所需的電子元件并將其導入設計工作區。選擇 ADD-PART 按鈕并收集組件以重現 Chua 的電路設計。可以在此處訪問項目期間使用的所有組件的列表。

*** 請注意，也可以使用來自其他庫的不同組件。由于我們沒有在 eagle 內部進行任何模擬，因此選擇組件時的關鍵標準是確保封裝和封裝類型與從電子供應商訂購的組件相匹配。不這樣做會導致將芯片焊接到 PCB 板上時遇到困難，因為焊針布局與這些組件不匹配。

5)為所有組件分配名稱和值。

6)按照 Chua 的電路設計連接每個組件，繼續創建電路原理圖。

PCB布線和制造

1)連接組件并完成電路圖后，單擊 GENERATE/SWITCH TO BOARD 按鈕以生成 PCB 布局工作區。

2）為了控制電路板布局和尺寸，Fusion 360 用于設計過程。

3)在 Fusion 360 中完成 PCB 布局后，單擊右側的 FUSION 360 垂直按鈕將其導入 Eagle 的 PCB 布局工作區。可以在此處找到有關從 Fusion 360 導入 PCB 所需程序的更多見解。

4)在 Eagle 環境中擁有所有組件和所需的 PCB 布局后，我們必須將每個組件放置到 PCB 板上。為了簡化布線過程，請確保每個組件的位置遵循原理圖的邏輯。

5)連接元件的每根空氣線必須走線到 PCB 表面。您可以手動路由每個連接，也可以使用自動路由選項讓 EAGLE 自動創建所有連接。鑒于原理圖的簡單性，我們使用手動布線來確保所有引腳都正確布線。此外，還創建了一個多邊形來為所有組件提供集體地面。有關路由方法以及創建多邊形的更多信息，請參見此處。請注意，在繼續下一節之前，可以刪除或添加 PCB 板上的文本以進行描述。

6)一旦完成所有布線連接，我們將審查所有設計參數以確保 PCB 布局產生預期的輸出。此外，必須調整制造參數以符合制造廠的要求。有關最終確定設計參數和生成所需的 Gerber 文件以進行制造的程序的所有詳細信息，都可以在此處找到。

7)生成 Gerber 制造 ZIP 文件后，必須選擇制造商來訂購電路板。有關要考慮的制造選項的更多詳細信息，請參見此處。對于當前項目，Gerber 文件已上傳到JLC PCB 訂購頁面。

組裝電路

- 考慮到組件的尺寸，需要使用顯微鏡將組件適當地焊接到 PCB 上。或者，您可以在從 JLC PCB 訂購 PCB 時選擇 SMT 組裝選項，并讓他們為您組裝所有組件。更多細節可以在這里找到。

- 運算放大器 IC 的 + 和 - 引腳不易察覺。因此，請確保在電位器的另一側以水平方向的基準線焊接 IC。

- 焊接電位器時，利用左中針將增加旋鈕順時針旋轉時的電阻。相反，當旋鈕逆時針旋轉時，使用右側和中間銷會增加阻力。

*** 由于目前的研究項目正在進行中，未來將在Github 項目存儲庫上提供不同的電路配置。

第 4 步：實驗

目標：

1) 電位器兩端需要什么電阻值來觀察電路中的混沌行為？

2）高頻力（F2）的幅值（A2）如何影響振動共振下電路的時序演化？

觀察混沌：

1)將示波器的通道#1 連接到電路的輸出 1，報告電容器 C1 上的電壓。

2)將示波器的通道#2 連接到電路的輸出 2，報告電容器 C2 上的電壓。

3)將兩節 9V 電池連接到各自的電池插孔。

4)將示波器設置調整到 XY 模式，在 X 軸上繪制電容器 C1 兩端的電壓和電容器 C2 兩端的電壓。

5)調整各軸的刻度，直到測量分辨率合適。

6)慢慢轉動電位器的旋鈕，找到合適的電阻值，以使混沌行為發生。如果您有任何不穩定的連接或不正確的電位器電阻，此過程可能會非常繁瑣。

7)雖然不是最精確的方法，但萬用表可以測量電位器感應的電阻值。

混沌測量#1：

電阻值 (R) = 1.194 KOhm

水平軸 (V1) = 100 mV/格

垂直軸 (V2) = 500 mV/格

混沌測量#2：

電阻值 (R) = 0.750 KOhm

水平軸 (V1) = 50 mV/格

垂直軸 (V2) = 500 mV/格

混沌測量#3：

電阻值 (R) = 1.240 KOhm

水平軸 (V1) = 100 mV/格

垂直軸 (V2) = 500 mV/格

混沌測量#4：

電阻值 (R) = 1.220 KOhm

水平軸 (V1) = 200 mV/格

垂直軸 (V2) = 1.00 V/div

觀察與討論

示波器在 XY 模式下生成的電路的狀態空間表示允許通過在 X 軸上繪制電容器 C1 兩端的電壓和在 Y 軸上繪制電容器 C2 兩端的電壓來分析電路的動態行為。您可以將示波器 XY 圖中的一個小點想象為任意時間 T 的電路狀態。隨著時間的推移，狀態測量值（點）的集合產生了一個幾何表示，其中系統的狀態演變產生幾何圖案。例如，從電阻值約為 1.194 KOhm 的測量 #1 中，我們觀察到系統通過總共四個不同的軌道圍繞平衡點運行的狀態。隨著電位器上的電阻值接近在電路中引起混亂所需的閾值，軌道數增加，該閾值約為 1.220 KOhm。正如在測量#4 中觀察到的，系統在混沌行為下的狀態可以從正軌道跳到負軌道。從理論上講，一組特定的參數值，其中狀態從一個吸引子到另一個吸引子的動態演變變得完全“隨機”。令人驚訝的是，這種混沌特性對許多應用程序（例如密碼學）很有用。可以找到關于蔡氏電路中混沌演變的進一步理論見解 從理論上講，一組特定的參數值，其中狀態從一個吸引子到另一個吸引子的動態演變變得完全“隨機”。令人驚訝的是，這種混沌特性對許多應用程序（例如密碼學）很有用。可以找到關于蔡氏電路中混沌演變的進一步理論見解 從理論上講，一組特定的參數值，其中狀態從一個吸引子到另一個吸引子的動態演變變得完全“隨機”。令人驚訝的是，這種混沌特性對許多應用程序（例如密碼學）很有用。可以找到關于蔡氏電路中混沌演變的進一步理論見解這里和這里。

兩個渦旋吸引器之間的尺寸差異是由于輸入功率不對稱造成的。具體來說，當電池正負輸入源之間的電壓差很小時，就會出現不對稱。例如，一個電池提供的負功率可能比正輸入的幅度小 0.7 V。因此，可以利用電源通過運算放大器的輸入施加 9V 和 -9.7V 來補償功率差。

此外，電路中使用的二極管類型對于發生混亂至關重要。大范圍的二極管導致無法觀察到電路中的任何混亂行為。發現 Fastron的18mH 5% 電感器可實現最佳結果。

振動共振實驗：

1)將信號發生器的通道#1 連接到電路的輸入插孔#1。

2)將信號發生器的通道#2 連接到電路的輸入插孔#2。

3)將示波器的通道#1 連接到電路的輸出#1，報告電容器C1 上的電壓。

4)將示波器的#2 通道連接到電路的#2 輸出，報告電容C2 兩端的電壓。

5)確保電路安裝牢固，避免測量過程中連接松動。

6)將兩節 9V 電池連接到各自的電池插孔。

7)將示波器設置為更多時間序列，并簡單地調整每個軸的刻度以及采樣率，直到您可以觀察到通道#1 和通道#2 的清晰正弦波。

8)對于時間序列分析，我們希望一次測量一個通道輸出以最大限度地提高清晰度。因此，關閉示波器上的通道#1 顯示。

9)將電位器的阻值調整為1.350 KOhm。

*** 為了盡量縮短項目的長度，將僅探討高頻力 (F2) 的幅度 (A2) 的影響。此外，將僅介紹輸出信號的時間序列分析。將示波器模式調整為 FFT 可以探索輸出信號的頻率分量。隨意嘗試不同的輸入參數和測量方法。

共振測量 [#1 - #8]

電阻值（R）：R = 1.350 KOhm

輸入信號參數：

CH1（力 #1）幅度 = 0.3 V

CH1（力#1）頻率 = 50 Hz

CH2（力 #2）幅度 = [0.0 V - 3.5 V - 4.5 V - 5.5 V - 6.5 V - 7.5 V - 8.5 V]

CH2（力 #2）頻率 = 500 Hz

觀察與討論：

一旦達到 (A2) 的閾值，系統就可以從正值跳轉到負值。系統在正負區域所花費的時間稱為停留時間（T+，T-）。考慮一段時間內的所有停留時間，我們可以計算平均停留時間（Tmr+，Tmr-）。在測量編號 #3 中，陽性 (T+) 和陰性 (T-) 之間的平均停留時間差異很大。與在正區域中花費的時間相比，發現系統在短時間內輸出負值。隨著輸入幅度 (A2) 從測量 #3 中的 4.5 V 增加到測量 #8 中的 8.5 V 幅度 (A2)，正平均停留時間 (Tmr+) 和負平均停留時間 (Tmr- ) 被發現減少。對于幅度的特定閾值 (A2_max)，正值和負值之間的平均停留時間變得相等。進一步的分析可以證明，在幅度值等于 (A2_max) 的情況下，從正區域到負區域的周期性切換發生的周期等于低頻輸入 (f1) 周期的一半。正是在這樣的輸入閾值下才會發生振動共振。給定為實驗選擇的參數，發現 A2_max 約為 8.5V。與模擬期間獲得的結果相比，電壓閾值相對較高可能是由于在實驗期間將電阻值 (R) 設置為 1.350 KOhm。此外，可以計算幅度響應分析以找到接近 8.5V 的值范圍內的 A2_max 的特定值。正值和負值之間的平均停留時間變得相等。進一步的分析可以證明，在幅度值等于 (A2_max) 的情況下，從正區域到負區域的周期性切換發生的周期等于低頻輸入 (f1) 周期的一半。正是在這樣的輸入閾值下才會發生振動共振。給定為實驗選擇的參數，發現 A2_max 約為 8.5V。與模擬期間獲得的結果相比，電壓閾值相對較高可能是由于在實驗期間將電阻值 (R) 設置為 1.350 KOhm。此外，可以計算幅度響應分析以找到接近 8.5V 的值范圍內的 A2_max 的特定值。正值和負值之間的平均停留時間變得相等。進一步的分析可以證明，在幅度值等于 (A2_max) 的情況下，從正區域到負區域的周期性切換發生的周期等于低頻輸入 (f1) 周期的一半。正是在這樣的輸入閾值下才會發生振動共振。給定為實驗選擇的參數，發現 A2_max 約為 8.5V。與模擬期間獲得的結果相比，電壓閾值相對較高可能是由于在實驗期間將電阻值 (R) 設置為 1.350 KOhm。此外，可以計算幅度響應分析以找到接近 8.5V 的值范圍內的 A2_max 的特定值。進一步的分析可以證明，在幅度值等于 (A2_max) 的情況下，從正區域到負區域的周期性切換發生的周期等于低頻輸入 (f1) 周期的一半。正是在這樣的輸入閾值下才會發生振動共振。給定為實驗選擇的參數，發現 A2_max 約為 8.5V。與模擬期間獲得的結果相比，電壓閾值相對較高可能是由于在實驗期間將電阻值 (R) 設置為 1.350 KOhm。此外，可以計算幅度響應分析以找到接近 8.5V 的值范圍內的 A2_max 的特定值。進一步的分析可以證明，在幅度值等于 (A2_max) 的情況下，從正區域到負區域的周期性切換發生的周期等于低頻輸入 (f1) 周期的一半。正是在這樣的輸入閾值下才會發生振動共振。給定為實驗選擇的參數，發現 A2_max 約為 8.5V。與模擬期間獲得的結果相比，電壓閾值相對較高可能是由于在實驗期間將電阻值 (R) 設置為 1.350 KOhm。此外，可以計算幅度響應分析以找到接近 8.5V 的值范圍內的 A2_max 的特定值。與模擬期間獲得的結果相比，電壓閾值相對較高可能是由于在實驗期間將電阻值 (R) 設置為 1.350 KOhm。此外，可以計算幅度響應分析以找到接近 8.5V 的值范圍內的 A2_max 的特定值。與模擬期間獲得的結果相比，電壓閾值相對較高可能是由于在實驗期間將電阻值 (R) 設置為 1.350 KOhm。此外，可以計算幅度響應分析以找到接近 8.5V 的值范圍內的 A2_max 的特定值。

*** 請注意，目前的研究項目仍在進行中，未來有關實驗的更新將添加到Github 項目頁面和研究門。

第 5 步：總結 - 結論 - 未來方向

概括

本項目共同為未來使用 Chua 電路作為實驗系統研究非線性諧振的實驗奠定了基礎。以下是項目期間得出的初步結論的摘要：

理論

總共審查了六種不同類型的共振：

- 隨機共振（周期性力與噪聲配對）

- 振動共振（高頻雙諧波力）

- 相干共振（僅噪聲）

- 鬼共振（雙諧波力與導致意外輸出頻率的噪聲配對）

- 參數共振（周期系統的參數）

- 自動共振（外力鎖相）

蔡氏電路的時間演化是用三個感興趣的參數和三個常微分方程建模的：

- 電容器 1 兩端的電壓(V1)

- 電容器 2 兩端的電壓(V2)

- 電感器上的電流(L)

模擬

對于選擇的模擬參數，發現特定的輸入值會在振動共振下引起電路的最大幅度響應：

- 強制 1 幅度 (A1)：1.8 V

- 力 2 幅度 (A2)：0.5 V

- 強制 1 頻率 (f1)：200 Hz

- 力 2 頻率 (f2)：1500 赫茲

報告了三種類型的信號分析方法來解釋電路的諧振響應：

- 快速傅里葉變換 (FFT) 分析：允許將輸出信號分解為其頻率分量。

- 幅度響應分析 (Q)：允許導出一系列輸入參數的最大幅度值。

- 時間序列分析：允許觀察系統隨時間的演變。

硬件設計

選擇了以下電子元件屬性：

電容器 C1：100 nF

電容器 C2：10 nF

電感器 L：18 mH

可變電阻器 R：2 KOhm

電阻器 R2：220 歐姆

電阻 R3：220 歐姆

電阻 R4：2.2 KOhm

電阻 R5：22 KOhm

電阻 R6：22 KOhm

電阻 R7：3.3 KOhm

運算放大器：TL082

實驗

在選定的實驗參數下，發現電路的混沌行為發生在特定電阻值為：

- 電阻值 (R) = 1.220 KOhm

在振動共振下，發現正負值之間的周期性切換是由高頻力的閾值幅度值引起的：

- 力 2 幅度 (A2) = 7.5 V (+- 1.0V)（近似解）

未來發展方向

• 通過探索各種輸入參數來探索蔡氏電路中其他類型的共振。例如，在蔡氏電路系統中是否可以觀察到其他類型的非線性諧振？

• 研究按照不同網絡拓撲耦合的多個 Chua 電路之間的諧振輸入信號的傳播。每個耦合系統的狀態演化將如何隨時間變化？例如，受輸入信號影響的電路的最大響應幅度是否會間接感應網絡中的其他系統？

• 探索生物系統中的共振。鑒于生物有機體的非線性特性，Chua 電路的共振響應與生命系統對外部刺激的響應之間是否有相似之處？非線性共振背后的原理能否讓我們進一步了解允許生物體之間進行遠程通信的物理機制？

• 將非線性共振變為實用性。在未來的設計中如何利用非線性共振來解決實際問題？

“如果你想發現宇宙的秘密，請從能量、頻率和振動的角度來思考。” - 尼古拉·特斯拉。