2.6.1. 一個簡單的例子：拋硬幣

想象一下，我們計劃拋硬幣并想要量化我們看到正面（與反面）的可能性有多大。如果硬幣是公平的，那么兩種結(jié)果（正面和反面）的可能性都相同。此外，如果我們打算拋硬幣n次，那么我們期望看到的正面部分應(yīng)該與預(yù)期的反面部分完全匹配。一種直觀的方式是通過對稱性來看待這一點：對于每一個可能的結(jié)果nh 頭和nt=(n?nh)尾巴，有一個同樣可能的結(jié)果nt頭和nh尾巴。請注意，這只有在我們平均期望看到的情況下才有可能1/2拋出頭和1/2出現(xiàn)尾巴。當(dāng)然，如果你多次進(jìn)行這個實驗n=1000000拋擲每一個，你可能永遠(yuǎn)看不到試驗在哪里nh=nt確切地。

形式上，數(shù)量1/2被稱為概率，在這里它捕捉到任何給定的拋擲都會出現(xiàn)正面的確定性。概率在之間分配分?jǐn)?shù)0和1到感興趣的結(jié)果，稱為事件。這里感興趣的事件是 heads我們表示相應(yīng)的概率 P(heads). 的概率1表示絕對確定性（想象一個雙面都是正面的騙局硬幣）和概率0表示不可能（例如，如果兩邊都是反面）。頻率nh/n和nt/n不是概率而是統(tǒng)計。概率是 數(shù)據(jù)生成過程的理論量。在這里，概率1/2是硬幣本身的屬性。相比之下，統(tǒng)計數(shù)據(jù)是作為觀察數(shù)據(jù)的函數(shù)計算的經(jīng)驗量。我們對概率和統(tǒng)計量的興趣密不可分。我們經(jīng)常設(shè)計稱為估計器的特殊統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在給定數(shù)據(jù)集的情況下，它會產(chǎn)生 模型參數(shù)（如概率）的估計值。此外，當(dāng)這些估計量滿足稱為一致性的良好屬性時，我們的估計將收斂到相應(yīng)的概率。反過來，這些推斷的概率說明了我們將來可能遇到的來自同一人群的數(shù)據(jù)的可能統(tǒng)計特性。

假設(shè)我們偶然發(fā)現(xiàn)了一枚真實的硬幣，但我們并不知道它的真實價值P(heads). 要用統(tǒng)計方法調(diào)查這個數(shù)量，我們需要（i）收集一些數(shù)據(jù)；(ii) 設(shè)計一個估算器。這里的數(shù)據(jù)采集很容易；我們可以多次拋硬幣并記錄所有結(jié)果。形式上，從一些底層隨機過程中繪制實現(xiàn)稱為采樣。正如您可能已經(jīng)猜到的那樣，一種自然的估計量是觀察到的正面朝上數(shù)與拋擲總次數(shù)之間的分?jǐn)?shù)。

現(xiàn)在，假設(shè)硬幣實際上是公平的，即 P(heads)=0.5. 為了模擬公平硬幣的拋擲，我們可以調(diào)用任何隨機數(shù)生成器。以概率抽取事件樣本的一些簡單方法0.5. 例如 Python random.random在區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生數(shù)字[0,1]其中躺在任何子區(qū)間的概率[a,b]?[0,1]等于b?a. 因此我們可以通過0測試返回的1浮點數(shù)0.5是否大于0.5

num_tosses = 100
heads = sum([random.random() > 0.5 for _ in range(100)])
tails = num_tosses - heads
print("heads, tails: ", [heads, tails])

heads, tails: [48, 52]

num_tosses = 100
heads = sum([random