《數學建模與實驗》實驗指導書

⒈目的
計算機的應用在數學建模的教學中占有重要地位，在為解決實際問題而建立數學模型的過程中、對所建模型的檢驗以及大量的數值計算中，都必需用到計算機。《數學建模與實驗》的實驗課的目的和任務是通過實驗培養并提高學生的數學建模能力和計算機應用能力。
⒉實驗任務分解
通過一些實例初步掌握建立數學模型的方法，實驗任務可分解為：初等建模，確定性連續模型，確定性離散模型，隨機性模型。在各個具體任務中，練習運用數值計算軟件Matlab進行數學實驗，對問題中的各有關變量進行分析、計算，給出分析和預測結果。
⒊實驗環境介紹
計算機房
⒋實驗時數
16學時

實驗一
⒈實驗目的與要求
通過對具體實例的分析，學會運用初等數學建立數學模型的方法，掌握Matlab的基本使用方法和Matlab中編程方法及M文件的編寫。
⒉實驗內容
初等代數建模，圖形法建模，靜態隨機性模型，量綱分析法建模等。學習和練習數值計算軟件Matlab的基本方法。
⒊思考題
1)?在超市購物時你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現象了嗎。比如潔銀牙膏50g裝的每支1.50元，120g裝的每支3.00元，二者單位重量的價格比是1.2:1。試用比例方法構造模型解釋這個現象。
2)?動物園里的成年熱血動物靠飼養的食物維持體溫基本不變，在一些合理、簡化的假設下建立動物的飼養食物量與動物的某個尺寸之間的關系。
3)?原子彈爆炸的速度v與空氣密度?、粘滯系數?和重力加速度g有關，其中粘滯系數的定義是：運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數為粘滯系數。用量綱分析方法給出速度v的表達式。
4)?掌握Matlab的基本使用方法，并試解以下問題：
(1)?至少用3種方法解線性方程組Ax = b，如矩陣除法、求逆矩陣法、矩陣三角分解法等。
(2)?用幾種方法畫簡單函數的圖形，并練習：考慮如何畫坐標軸;在一個坐標系中畫多條函數曲線; 用subplot畫多幅圖形; 圖上加注各種標記等。
(3)?建立M-文件來計算：自然數n的階乘; n中取m的組合數; 已知兩個多項式(不一定同階)的系數，求這兩個多項式的和。

實驗二
⒈實驗目的與要求
通過對具體實例的分析，學會運用微分方程、變分法等數學方法建立確定性連續模型的方法。
⒉實驗內容
微分法建模，微分方程建模，穩定性方法建模，變分法建模。學習和練習Matlab在微分方程等連續性模型中的應用。
⒊思考題
1)?在魚塘中投放n0尾魚苗，隨著時間的增長，尾數將減少而每尾的重量將增加。
(1)?設尾數n(t)的(相對)減少率為常數; 由于喂養引起的每尾魚重量的增加率與魚的表面積成正比，由于消耗引起的每尾魚重量的減少率與重量本省成正比。分別建立尾數和每尾魚重的微分方程，并求解。
(2)?用控制網眼的辦法不捕小魚，到時刻T才開始捕撈，捕撈能力用尾數的相對減少量 表示，記作E，即單位時間捕獲量是En(t)。問如何選擇T和E，使從T開始的捕獲量最大。
2)? 藥物動力學中的Michaelis-Menton模型為 表示人體內藥物在時刻t的濃度。研究這個方程的解的性質。
(1)?對于很多藥物(如可卡因)，a比x(t)大得多，Michailis-Menton方程及其解如何簡化。
(2)?對于另一些藥物(如酒精)，x(t)比a大得多，Michailis-Menton方程及其解如何簡化。
3)? 用Matlab求解以下問題：
(1)?用一臺帶記數器的錄音機，實測一組時間t和轉數n的數據，確定模型 中的系數a, b。
(2)?一橢球的三個半軸分別長4、3、2，求其表面積。
(3)?用歐拉方法和龍格-庫塔方法求解以下微分方程，畫出解的圖形，并將結果與精確解進行比較：
(i)? ，精確解? ;
(ii)? ，
?精確解? 。

實驗三
⒈實驗目的與要求
通過對具體實例的分析，學會運用差分方程、圖論方法等數學方法建立確定性離散模型的方法。
⒉實驗內容
差分方程建模，層次分明分析法建模，圖論方法建模，邏輯方法建模。學習和練習Matlab中優化工具箱的應用。
⒊思考題
1)?用層次分析法解決一兩個實際問題，例如:
(1)?學校評選優秀學生或優秀班級，試給出若干準則，構造層次結構模型。可分為相對評價和絕對評價兩種情況討論。
(2)?你要購買一臺個人電腦，考慮功能、價格等因素，如何作出決策。
(3)?為大學畢業的青年建立一個選擇志愿的層次結構模型。
(4)?你的家鄉準備集資興辦一座小型飼養場，是養豬，還是養雞、養鴨、養兔，用層次分析法進行決策。
2)?食肉動物C、食草動物H和草P組成生態系統，因為草地有限，草過密會使草的成長減慢。用帶符號的有向圖建立這個系統的沖量過程模型，并證明沖量過程是不穩定的。
3)?用最小距離意義下的選舉規則研究投票問題。
(1)?如果以 最小為原則確定選舉結果p，說明p可以是p1, p2或p3中任一個。
(2)?如果以 最小為原則確定選舉結果p，說明p：x~y~z。
4)?用Matlab優化工具箱解線性和非線性規劃問題：
(1)?求解線性規劃
max?? ,
s. t.???? ,
?? ,
?? ,
?? ,
?? ,
?? 。
給出函數值和起作用約束。
(2)?求解二次規劃
min?? ,
s. t.??? ,
???

實驗四
⒈實驗目的與要求
通過對具體實例的分析，學會運用概率分布方法、隨機過程方法等數學方法建立隨機性模型的方法。
⒉實驗內容
概率分布方法建模，馬氏鏈模型，隨機服務模型。學習和練習Matlab中的概率統計工具箱的應用。
⒊思考題?
1)?某商店要訂購一批商品零售，設購進價c1，售出價c2，訂購費c0(與數量無關)，隨機需求量r的概率密度為p(r)，每件商品的貯存費為c3(與時間無關)。問如何確定訂購量才能使商店的平均利潤最大，這個平均利潤是多少。為使這個平均利潤為正值，需要對訂購費c0加什么限制？
2)?考察一種既不同于指數模型、也不同于阻滯增長模型的情況：人口為x(t)，最大允許人口為xm，t到 時間內人口增長量與 成正比。
(1)?建立確定性模型，將結果作圖，與指數模型和阻滯增長模型的結果進行比較。
(2)?作出適當的假設，建立相應的隨機模型，求出人口的期望，并解釋其與(1)中的x(t)在形式上完全一致的意義。
3)?在酶促反應中，如果用指數增長模型 代替Michaelis-Menton模型對經過嘌呤霉素處理的實驗數據作非線性回歸分析，其結果將如何。更進一步，若選用模型 來擬合相同的數據，其結果是否比指數增長模型有所改進。試作出模型的殘差圖進行比較。
4)?Matlab在方差分析和回歸分析中的應用：
(1)? 6種農藥在相同的條件下進行滅蟲試驗，結果如下表(滅蟲率以%計)，問它們的效果有無顯著差異，需要作進一步比較嗎。
農藥A1?87?85?80??農藥A2?90?88?87?94
農藥A3?56?62???農藥A4?55?48??
農藥A5?92?99?95?91?農藥A6?75?72?81?
?(2)? 在一丘陵地帶測量高程，x和y方向每隔100米測一個點，得高程如下表，試擬合一曲面，確定合適的模型，并由此找出最高點和該點的高程。
?? x
?y?100?200?300?400
100?636?697?624?478
200?698?712?630?478
300?680?674?598?412
400?662?626?552?334