這本書涵蓋了線性代數的各個方面，包括在最高級的本科教材中。從復向量空間、復內積、正規算子的譜定理、對偶空間、商空間、極小多項式、約當正則形式和弗羅貝尼烏斯（或有理）正則形式中解釋了所有常見的主題。關于行列式的一章作為最后一章被包括在內，但它們并沒有在正文中作為一個整體來使用。不使用行列式的線性代數的另一種方法可以在〔Axler〕中找到。

　　這本書預期的先決條件是在矩陣代數中修一門下除法課程。這篇文章的一個很好的參考文獻是〔Bretscher〕。

　　在其他關于線性代數的書中，我認為這本書與諸如〔Axler，Curtis，Halmos，Hoffman Kunze，Lang〕等書相比有一定的難度。如果你想考慮更具挑戰性的書，我建議你看研究生水平的書〔Gre〕。烏布，羅曼，瑟爾。

　　第一章包含了抽象向量空間和線性映射的所有基本內容。線性映射的維數公式是理論上的亮點。為了促進一些更具體的發展，我們涵蓋了矩陣表示、基的變化和高斯消元。線性獨立性通常在線性代數中引入得更早，直到本章的結尾。但在那里有詳細的介紹。我們還包含了關于雙空間和商空間的兩個部分，這些部分可以跳過。

　　第二章是關于線性算子的理論。線性微分方程用于激勵引入特征值和特征向量，但這種激勵可以忽略。然后，我們解釋如何使用高斯消元來計算矩陣的特征值和特征向量。這用于了解有限維空間上的線性算子如何和何時可對角化的基本知識。我們還引入了最小多項式，并用它給出了對角化算子的經典刻畫。在后面的章節中，我們給出了一個相當簡單的凱萊-漢密爾頓定理和循環子空間分解的證明。這很快導致了弗羅貝尼烏斯范式。這個標準形式是關于如何在線性映射不可對角化的情況下找到簡單矩陣表示的最一般的結果。前倒數第二節的解釋表明，弗羅貝尼烏斯規范形式暗示了約旦-切瓦利分解和約旦-魏爾斯特拉斯規范形式。在最后一節中，我們提出了一個快速而基本的史密斯正規形式的方法。這種形式允許我們使用基本的行和列操作直接計算具有多項式項的矩陣的所有相似度不變量。

　　第三章包括關于內部產品空間的材料。柯西-施瓦茲不等式及其對貝塞爾不等式的推廣，以及它們如何與正交投影相聯系，構成了本章的理論核心。在此過程中，我們通過格拉姆-施密特程序，以及正交互補和正交投影，討論了正交堿基及其存在的標準事實。本章還包含了線性映射鄰接的基本元素，以及它對正交投影的一些用途，因為這與正交基很好地聯系在一起。最后，我們將討論矩陣指數和微分方程組。

　　第四章對內積空間之間的線性映射理論進行了深入的探討。最重要的結果當然是自伴算符的譜定理。該定理用于建立實、復正規算子的正則形式，給出了一元、正交、斜伴隨算子的正則形式。應該指出的是，譜定理的證明不依賴于我們使用的是實尺度還是復尺度，也不依賴于特征多項式或極小多項式。忽略我們先前關于對角化性的材料的原因是，我們希望有一個更容易概括為無限維的理論。使用特征多項式和極小多項式的常用證明可歸結為練習。本章的最后部分包括奇異值分解、極性分解、復線性算子的三角化（舒爾定理）和二次型。

　　第5章介紹了行列式。在這一點上，引入行列式似乎幾乎是無用的，因為我們在不需要它的情況下，已經討論了這個理論。行列式雖然不是必不可少的，但在給出特征多項式的清晰定義時非常有用。它也是有限維算子最重要的不變量之一。它有幾個很好的性質，并給出了一個很好的判斷何時一個算符是可逆的。它還可以方便地給出線性系統解的公式（克萊默法則）。最后，我們討論了它在線性微分方程理論中的應用，特別是與非齊次方程解的參數變化公式有關。我們利用體積形式自由地定義了線性算子的行列式。除了證明存在體積形式之外，這還提供了一種不使用置換來證明行列式所有性質的相當好的方法。它還具有自動給出行列式的置換公式的額外好處，因此表明置換的符號定義良好。

　　在第一章中，我們將討論向量空間、線性映射和子空間的定義。此外，我們還介紹了一些重要的概念，如基、維、直和、線性映射的矩陣表示、線性映射的核和圖像。我們將證明線性映射的維數定理，它將域的維數與核和圖像的維數聯系起來。我們給出了高斯消元，以及它如何與更抽象的理論聯系在一起。這將用于定義和計算第2章中的特征多項式。重要的是要注意教派。1.13和1.12包含本章某些重要結果的替代證明。因此，在討論了宗派同構之后，有些人可能會想直接進入這些章節。1.8然后回到遺漏的部分。由于歸納法將在許多證明中發揮重要作用，我們在第一節中選擇了對這個主題說一些事情。