傳統的軟件可靠性模型大多假設排除錯誤的時間忽略不計，基于假設過于苛刻，影響了模型應用的范圍和精度。因此在JM模型的基礎上，提出了排錯時間為負指數分布的軟件可靠性模型及本模型的極大似然參數估計方法。通過用馬爾可夫過程描述系統的狀態，分析了模型的數值求解方法，并討論了使用在本模型中的失效預測、剩余錯誤預測和等待排出的錯誤數預測公式。同時利用實際的工程數據對本模型的應用過程進行了驗證。
關 鍵 詞 軟件可靠性模型; 軟件可靠性; 排錯時間; JM模型

在現有的軟件可靠性模型中，絕大多數都假設排除錯誤的時間忽略不計，這些模型的可靠性預測都依賴于這條假設。顯然，忽略排錯時間的假設過于苛刻，尤其在軟件工程的實踐中，排錯過程已經成為影響軟件可靠性的重要環節。在得不到排錯過程數據的情況下，忽略排錯時間使得可靠性模型變得簡單，同時也降低了模型精度和結果的可信度。隨著軟件開發過程管理水平的提高， 在有條件獲得排錯過程的有關數據條件下，則應將考慮排錯過程對可靠性的影響，本文提出了考慮排錯時間的可靠性模型。
1 JM模型
JM模型(Jelinski and Moranda Model，JM)由文獻[1]提出，是最早的軟件可靠性模型之一，該模型對軟件可靠性定量分析技術的建立和發展做出了重要的貢獻[2, 3]。
模型基本假設如下：1) 軟件測試的方式與使用方式相同；2) 軟件每個錯誤導致系統失效的可能性相同；3) 軟件中的錯誤相互獨立，各次失效的間隔時間也相互獨立；4) 當失效發生后，導致失效的軟件錯誤立刻被排除，排錯時間忽略不計，且不引入新的錯誤；5) 在測試開始時，軟件中有N0個錯誤。N0是一個未知常數；6）軟件的失效率Z在每個失效間隔內是常數，其數值與軟件中殘留的錯誤數成正比，比例系數為Φ。假

設1)保證了使用測試數據對可靠性進行了模型評估的正確性。假設2)使得不同的失效率具有相同的分布特性。假設3)排除了錯誤之間的相互影響。假設4)則將測試階段中的查錯、排錯兩種活動簡化為只有查錯一種活動，忽略了排錯過程和排錯結果對可靠性的影響。假設1)～4)廣泛應用在多種軟件可靠性模型之中[2,3]。根據JM模型的假設5)、6)可以得知，在第i個測試區間內，失效率函數為：
Z(Δt | ti?1)＝Φ(N0?i+1)
假設失效發生時刻的隨機變量為ξ, 用F(t)表示ξ的分布函數．根據狀態轉移概率的定義可以得到： 000{|}{}()()(|)limlimlim{}(1())1()tttPttttPtttFttFtFtZttttPthFtξξξξΔ→Δ→Δ→′+Δ>>+Δ>+Δ?Δ====ΔΔ>?≥≥ (1)
求解這個一階常系數微分方程，在初始條件F(0)=0的情況下，可得分布函數：
01() = 1exp{(|)} = 1exp{(+1)}iFtZtttNitΦ??Δ??? (2)
可見，系統在經歷了i?1次失效后，第i次失效發生的時間服從參數Φ(N0?i+1)的負指數分布。其密度函數 f(t) = F′ (t) =Φ(N0?i+1)exp{?Φ(N0?i+1)t}，可靠性函數R(t) = exp{?Φ(N0?i+1)t}，第i次失效與第i?1次失效的間隔時間 =01(1iMTBFNiΦ=?+，則第k次失效發生的時間 。失效次數的均值公式為： 1kkitMTB==Σ
(3) 0()=[1exp()]mtNtΦ??
剩余錯誤數的均值為：
0()=exp()etNt?Φ (4)
2 負指數分布排錯時間的軟件可靠性模型
2.1 基本假設
本模型的假設包括JM模型的假設1)～3)和假設5)，對假設4)和假設6)進行如下修改。
2.1.1 對假設4)的修改：負指數時間的排錯過程
假設4.1)，每次的軟件失效是由一個錯誤引起的；假設4.2)，當失效發生后，排錯活動立刻進行；假設4.3)，每次排除一個錯誤，排錯順序按照失效的順序進行，如果新的排錯任務到達時上一個錯誤仍未被排除，則新的排錯任務進入排隊；假設4.4)，排錯是完美的，引起失效的錯誤一定能夠排除，且不引入新的錯誤；假設4.5)，錯誤的排除時間服從負指數分布。在上述排錯過程假設的5個方面中，假設4.1)可以從原JM模型的假設2)和假設3)推導得到；假設4.2)和假設4.3)反映了大多數軟件排錯活動的特點；假設4.4)對實際的排錯活動進行了簡化，本模型暫不考慮不完美排錯的情況。
負指數分布能夠較好地描述許多人工活動的服務時間[4]；文獻[5]對178個排錯時間樣本進行了分析，認為排錯時間服從負指數分布；在文獻[4]中，通過Shuttle項目中包含85個數據項的排錯時間樣本分析，認為其排錯時間也服從參數為平均排錯時間的負指數分布。由于負指數分布的排錯時間具有較為廣泛的代表性，因此，本模型假設排錯時間服從參數為μ0的負指數分布，其分布函數為：0()1exp()Fttμ=??。
2.1.2 對假設6的修改：失效過程假設
假設6.1)，軟件的瞬時失效率Z在每個失效間隔內是常數，其數值與軟件中殘留的錯誤數成正比，比例系數為Φ，假設6.2)一旦錯誤被排除，立刻以新的軟件版本為對象進行測試。本模型假設6.1)具有與原JM模型相同的實質，但瞬時失效率具有不同的表達式。假設當前已經發生了i次失效，且已修復了j個錯誤(j≤i)，則稱系統當前處于狀態(i，j)。根據假設6)，處于狀態(i, j)的系統的瞬時失效率為( | )=Ztti0(NjΦ?。從上式可以看出，在初始錯誤一定的情況下，瞬時失效率只與已經排除的錯誤數有關，而與失效次數無關。這是本模型與JM模型失效過程的最大區別。假設6.2)符合一般的測試過程，該假設將影響到從失效時刻得到失效間隔時間的處理。
2.2 模型的馬爾可夫過程
如果用二元組(i，j)表示系統的當前狀態，其中i為失效次數，j為已經修復的錯誤數，N0為初始錯誤數，則系統狀態的變化構成一個連續時間的馬爾可夫過程，如圖1所示，其中瞬時狀態轉移概率為：