變截面梁的同倫法分析
Theme：Variable cross-section beam of Homotopy Analysis Method
本文在已有的梁振動的基本方程基礎之上，建立了梁的截面按一維線性方式
變化的模型，并推導出了其自由振動方程，并對該振動方程做了一個比較全面的探索性求解。首先，對該方程傳統的冪級數解作了一個探求，只得出了一個零解。其次，運用同倫分析法對其一，二階頻率和一，二階模態進行了求解。得出了其頻率的近似解和模態的近似解析解。并將得到的結果退化到等截面情形，與已有的精確解作了比較，得到了比較滿意的效果。在基本方程建立后，借助于計算機工具，運用數學軟件MATLAB 行具體的運算。同時，也展示了同倫分析法在求解常微分時的有效性與靈活性，特別是在傳統方法失效時，同倫分析法更是顯示出了它獨特的價值。
關鍵詞：振動 頻率 模態 同倫分析法 有效性 靈活性
1 前 言6
1.1 畢業論文的背景、意義..6
1.1.1 關于振動..6
1.1.2 振動在工程中的應用..6
1.2 畢業論文所做的工作.7
2 問題的描述.9
2.1 基本控制方程.9
2.2 本文模型的建立.9
2.3 分離變量..10
2.4 邊界條件..11
3 傳統方法—多項式冪級數解12
3.1 多項式冪級數解..12
3.1.1 零解12
3.1.2 取前20 階近似解.12
3.1.3 前15 階近似解.13
3.2 討論...15
3.3 總結...15
4 同倫分析方法求解頻率. 16
4.1 基本定義.16
4.1.1 引進嵌入變量16
4.1.2 輔助線性算子.16
4.1.3 輔助算子.16
4.2 由同倫分析法構造零階變形方程..16
4.3 由零階變形方程推導高階變形方程..17
5 同倫分析方法求解模態...25
5.1 基本定義...25
變截面梁的同倫法分析
5
5.2 由同倫分析法構造零階變形方程...25
5.3 由零階變形方程推導高階變形方程...26
6 算 例.29
6.2 初始猜測解...29
6.3 具體結果...32
6.4 討論...39
7 總結與展望..42
7.1 總結..42
7.2 展望42
致謝...43
附錄...44