圖1　中空外開槽波導(dǎo)及電子注橫截面示意圖.虛圓為電子注橫截面示意圖

　　在Ⅰ區(qū)(0＜r＜a)中

　(1)
　(2)
Ez=0　(3)

在Ⅱ區(qū)(a＜r＜b)中

Ez=0　(4)
Er=0　(5)

　(6)

其中

　(7)
B0=［-J′0(kcb)/Y′0(kcb)］A0　(8)

　　在以上各式中，E0為高頻場振幅，Γ為角向諧波數(shù)，ΑΓ為角向Γ次諧波項的振幅系數(shù)，kc為截止波數(shù)，q為開槽序數(shù)(q=1,2,…,N)，m代表高頻場的角向模式(m=0,1,2,…,N-1).AΓ的值以及電路的色散關(guān)系可由電磁場在r=a處的邊界條件確定.

　(9)

色散關(guān)系為

　(10)

　　式(9)表明，只有當(dāng)空間諧波次數(shù)Γ=m+lN時，非零空間諧波項才存在.角向模式?jīng)Q定相鄰隙間高頻場的相位差，對于每一具體模式，此相位差值為m2π/N.每一角向模式均由無數(shù)個角向諧波項組成，其諧波振幅系數(shù)由式(9)決定.在所有角向模式中有兩個比較重要的模式，即π模式和2π模式，其角向諧波相對強(qiáng)弱分布情況見圖2.由圖2可知，2π模式的能量主要集中于零次諧波項中，而π模式的能量主要集中于±N/2次諧波項中.因此，π模式較2π模式更適合于高次回旋諧波互作用.如果電子注回旋諧波次數(shù)(用S表示)已經(jīng)設(shè)定，那么槽數(shù)N的選擇應(yīng)保證最強(qiáng)非零次角向諧波項的次數(shù)Г與回旋諧波次數(shù)S相等.如，對于π模式，槽數(shù)N應(yīng)等于2S.

圖2　角向諧波振幅對角向諧波數(shù)(Γ)的相對分布示意圖.(a)π模式(m=N/2,N=6,θ0=15°)，(b)2π模式(m=0,N=6,θ0=15°)

　　當(dāng)角向模式m和槽深(即a/b的值)確定后，截止波數(shù)kc的值可由式(10)通過數(shù)值求解方法求得［6，8，9］.

三、自洽非線性理論
　　在熱腔中，高頻場沿軸向呈緩變分布狀況，其對橫坐標(biāo)(r,φ)的分布函數(shù)與冷腔情況相同.下面給出Ⅰ區(qū)中的熱腔高頻電場分量(TE波)表達(dá)式.

　(11)
　(12)
Ez=0　(13)

　　上述各式中，Cmn為電場歸一化系數(shù)，f(z)為一復(fù)函數(shù)，代表高頻場沿Z軸的緩變分布情況.Cmn的值由下式求得

　(14)

　　以下是自洽非線性注波互作用常微分方程組.
　　從洛倫茲公式
出發(fā)［8］，可推得電子在高頻場(E,B)和直流磁場(B0)作用下的運(yùn)動方程.每個電子有6個運(yùn)動參量方程，這里僅給出了速度分量及動量空間角3個運(yùn)動參量方程.

　(15)
　(16)
　(17)

　　以上各式中，m0和γ分別為電子的靜止質(zhì)量和相對論因子，φ為動量空間角，u=γv,v為電子的速度，如圖1所示.
　　從有源麥克斯韋方程出發(fā)，經(jīng)過一系列復(fù)雜的推導(dǎo)并對電流進(jìn)行離散化后得到非線性注波互作用場方程為

　(18)

上式中，P為在一個高頻場周期內(nèi)所取的電子注批數(shù)，M為考慮電子注厚度因數(shù)而將電子注化分的圈數(shù)，N為每圈上所取的宏電子數(shù)，S為諧波次數(shù).〈…〉表示對初始速度分布函數(shù)為g0(v⊥,vz)的速度空間進(jìn)行平均.設(shè)電子注為單能電子注，速度零散主要來自于橫縱向速度比值(V⊥/Vz)的零散，這里按正態(tài)分布規(guī)律來處理速度零散，即初始速度分布函數(shù)為

式中K為歸一化常數(shù),△vz為平均縱向速度零散，δ為狄拉克函數(shù)．
邊界條件

f(z)|z=0=f(0)　(19)
(20)

式中f(0)為輸入高頻場電場幅值.
　　方程(15)～(18)為自洽非線性注波互作用方程組.將電子注離散為NT個宏電子，則一共有6NT+2個一階非線性微分方程，結(jié)合邊界條件(19)、(20)，利用四階龍格庫塔法對注波互作用進(jìn)行數(shù)值計算，計算結(jié)果在下部分內(nèi)容中給出并討論.

四、結(jié)果與討論
　　表1給出了互作用電路參數(shù)，各圖表曲線相關(guān)參數(shù)見相應(yīng)圖表標(biāo)注.圖3給出了驅(qū)動功率為20W情況下，效率與電子速度比值α的關(guān)系.圖中B0、Bg分別為直流磁場和共振點(diǎn)磁場，ω為高頻場頻率，ωc為波導(dǎo)截止頻率.由于在回旋行波管中波的能量取自于電子的橫向能，又由于當(dāng)α值增大，電子的橫向能量以及回旋半徑也隨著增大，因此互作用效率也就隨著α增大而增大.但當(dāng)α增大到一定值后，注波互作用達(dá)到飽和，同時由于電子注回旋半徑過大，電子在波導(dǎo)壁上產(chǎn)生截獲，這樣互作用效率又隨α值增大而減小.

表1　數(shù)值模擬參數(shù)與結(jié)果

圖3　效率與電子注速度比值α的關(guān)系(s=3,πmode,I=6A,V=60kV,ω/ωc=1.032，
　　　B0/Bg=0.99)

　　圖4所示為飽和效率、飽和增益與B0/Bg值之間的關(guān)系，虛線為飽和增益曲線.圖中γz為縱向速度分量的相對論因子.圖示表明，一方面，降低B0/Bg值，有助于提高飽和互作用效率，但B0/Bg值不能太低，否則失諧加重，注波互作用難以達(dá)到同步，飽和效率便會迅速降低；另一方面，增加B0/Bg的值卻有利于提高飽和增益.總的來說，磁場失諧率的選擇應(yīng)在效率和增益之間作優(yōu)化折衷.

圖4　飽和效率及增益與B0/Bg值的關(guān)系(s=3,π mode,I=6A,V=60kV,ω/ωc=γz,
　　　α=1.3)

　　圖5所示電流分別為3A、6A和9A情況下(a)飽和效率、(b)飽和增益隨頻率變化的關(guān)系.可以看出飽和效率、飽和增益以及飽和帶寬都隨電流的增長而有所增加.在6A和圖示情況下，飽和帶寬為7%，電流為3A增大到9A時，飽和帶寬從4.6%增大到8.3%.

圖5　不同電流下，(a)飽和效率(b)飽和增益隨頻率變化的關(guān)系(s=3,π mode,V=60kV,α=1.3,B0/Bg=0.99)

　　圖6所示為幾個不同磁場失諧率下飽和增益以及飽和效率隨頻率變化的關(guān)系.由圖可見，磁場失諧率對飽和增益、飽和效率及飽和帶寬都有較大影響，B0/Bg值的提高有利于飽和增益及飽和帶寬的提高，但飽和效率卻有所降低.在圖示條件下，當(dāng)B0/Bg值從0.983增大到0.998時，飽和帶寬從4.8%增大到9.3%.

圖6　不同磁場失諧率下，(a)飽和增益及(b)飽和效率隨頻率變化的關(guān)系(s=3,π mode,I=6A,V=60kV,α=1.3)

　　圖7為在不同磁場失諧率下飽和效率隨諧波次數(shù)的變化關(guān)系.由圖表明，飽和效率隨諧波次數(shù)的增大而降低，B0/Bg值越低，諧波次數(shù)對飽和效率的影響越大.

圖7　飽和效率隨諧波次數(shù)的變化關(guān)系(π mode,I=6A,V=60kV,α=1.3,ω/ωc=γz,rL/a=0.7)

　　圖8所示為不同諧波次數(shù)下飽和效率隨頻率的變化關(guān)系.圖示表明諧波次數(shù)對飽和帶寬有較大影響.在圖示條件下，諧波次數(shù)從2增大到4時，飽和帶寬從10.3%減小到5.7%.

圖8　不同諧波次數(shù)下飽和效率隨頻率的變化關(guān)系(π mode,I=6A,V=60kV,α=1.3,B0/Bg=0.99,ω/ωc=γz,rL/a=0.7)

五、結(jié)束語
　　本文在單模和未考慮空間電荷效應(yīng)及波導(dǎo)壁損耗的情況下，對95GHz3次諧波回旋行波管注波互作用進(jìn)行了數(shù)值計算，得出了一些重要的互作用規(guī)律.研究結(jié)果表明，開槽波導(dǎo)高次諧波回旋行波管能在較低的磁場下和較寬的頻帶范圍內(nèi)，獲得較高的互作用效應(yīng).高次諧波互作用降低了管子對磁場的要求，使采用永久磁鐵成為可能，但諧波次數(shù)的增高會削弱注波互作用效率和帶寬.由于在π模式中，高頻場能量主要集中于高次諧波項中，而在2π模式中，能量主要集中于零次諧波項中，因此，π模式較2π模式更有利于高次諧波放大.適當(dāng)降低磁場失諧率B0/Bg的值，有利于提高飽和互作用效率，但飽和增益及帶寬卻有所降低.適當(dāng)提高橫縱向速度比值(V⊥/Vz)、電流值以及輸入功率，有利于帶寬、增益和互作用效應(yīng)的提高.另外，速度零散對注波互作用亦有較大影響，隨著速度零散的增加，注波互作用效率、增益都有所降低.