我們經(jīng)常想要模擬入射到周期性結(jié)構(gòu)中的電磁波（光、微波），例如衍射光柵、超材料，或頻率選擇表面。這可以使用COMSOL產(chǎn)品庫(kù)中的RF或波動(dòng)光學(xué)模塊來(lái)完成。兩個(gè)模塊都提供了Floquet周期性邊界條件和周期性端口，并將反射和透射衍射級(jí)作為入射角和波長(zhǎng)的函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。本博客將介紹這類分析背后的概念，并將介紹這類問(wèn)題的設(shè)定方法。

場(chǎng)景

首先，讓我們來(lái)考慮代表周期性重復(fù)晶胞的自由空間平行六面體，平面波沿一個(gè)角度入射到其上，如下圖所示。

圖、平面波經(jīng)過(guò)周期性重復(fù)晶胞的圖示

入射波矢k在全局坐標(biāo)系中有三個(gè)分量，其大小分別是：kx，ky，和kz。該問(wèn)題可通過(guò)在域側(cè)面使用周期性邊界條件，并在頂部和底部使用端口邊界條件來(lái)模擬。該問(wèn)題設(shè)定最復(fù)雜的地方是定義入射波和出射波的方向和偏振。

定義波方向

雖然COMSOL軟件非常靈活，支持對(duì)基矢坐標(biāo)系的任意定義，但在本博客中，我們將選定一個(gè)坐標(biāo)系并始終使用它。入射光的方向由兩個(gè)角度定義，α1和α2；以及兩個(gè)矢量，n為模擬空間中向外指向的法向，a1為入射面的一個(gè)矢量。我們這里所選擇的約定將a1與全局x軸對(duì)齊，將n與全局z軸對(duì)齊。因此，入射波的波矢與全局z軸之間的夾角為α1，即入射仰角，其中-π/2，α1，意味著垂直入射。入射波矢和全局x軸之間的夾角為入射方位角α2，位于范圍-π/2之內(nèi)。由該定義，α1和α2的正值表示波沿著x軸和y軸正向傳播。

如要使用入射方向的上述定義，我們需要指定a1矢量。這可以通過(guò)選定一個(gè)周期性端口參考點(diǎn)來(lái)完成，它必須是入射端口的角點(diǎn)之一。軟件使用從該點(diǎn)出發(fā)的面內(nèi)邊來(lái)定義兩個(gè)矢量，a1和a2，且a1。在下圖中，我們可以看到滿足這一條件的四組a1和a2。因此，俯瞰z軸及平面時(shí)，入射面端口上的周期性端口參考點(diǎn)應(yīng)為x-y平面左下角的點(diǎn)。通過(guò)選擇此點(diǎn)，a1矢量變得與全局x軸對(duì)齊。

圖、周期性重復(fù)晶胞上的周期性端口參考點(diǎn)圖示

既然選擇了周期性端口參考點(diǎn)而在入射面定義了a1和a2，那么模擬域中出射面的端口也必須定義。法向矢量n指向相反的方向，因此必須調(diào)整所選擇的周期性端口參考點(diǎn)。四個(gè)角點(diǎn)都無(wú)法提供與入射面矢量對(duì)齊的a1和a2，因此我們必須選擇這四個(gè)點(diǎn)之一，并調(diào)整α1和α2的定義。通過(guò)在出射面選擇與入射面所選定點(diǎn)完全相反的周期性端口參考點(diǎn)，并將π/2旋轉(zhuǎn)α2，a1的方向被旋轉(zhuǎn)到a1，指向與入射面a1相反的方向。由于這種旋轉(zhuǎn)，模擬域中出射面的α1和α2的正負(fù)號(hào)發(fā)生了轉(zhuǎn)換。

圖、周期性重復(fù)晶胞中出射面的周期性端口參考點(diǎn)圖示

下一步，考慮一個(gè)代表介電半空間的模擬域，在入射和出射端口面之間存在折射率差異，這會(huì)使波方向發(fā)生改變，如下圖所示。根據(jù)斯涅耳定律，我們知道折射角為β。這使我們可以計(jì)算出射端口處的波矢方向。此外，請(qǐng)注意，即使有額外的介電層夾在兩個(gè)半空間之間，這種關(guān)系也仍然成立。

圖、斯涅耳定律圖示

總結(jié)一下，要定義通過(guò)一個(gè)晶胞的平面波方向，我們首先需要選擇兩個(gè)點(diǎn)，即周期性端口參考點(diǎn)，它們?cè)谌肷涿婧统錾涿娴奈恢猛耆喾础＿@些點(diǎn)定義了矢量a1和a2。因此，入射面的α1和α2可以相對(duì)于全局坐標(biāo)系定義。在出射面上，方向角變?yōu)椋害?,out和α2,out。

定義偏振

入射平面波的偏振可以是二者之一，即電場(chǎng)或磁場(chǎng)與x-y平面平行。所有其他偏振，例如圓形或橢圓形，都可以由這二者的線性組合建立。下圖顯示了α2，且磁場(chǎng)與x-y平面平行的情況。當(dāng)α2時(shí)，全局坐標(biāo)系中的入射和出射端口的磁場(chǎng)大小是(0，1，0)。由于光束旋轉(zhuǎn)使α2，磁場(chǎng)大小變?yōu)閟in(α2)。對(duì)于正交偏振，可以用類似方法定義入射面的電場(chǎng)大小。在出射端口，x-y平面中的場(chǎng)分量可以用相同的方式定義。

圖、周期性重復(fù)晶胞中磁場(chǎng)與x-y平面相平行的偏振圖示

到目前為止，我們已經(jīng)看到了如何定義傳播經(jīng)過(guò)介電界面周圍晶胞的平面波的方向與偏振。對(duì)這類問(wèn)題，您可以看到案例庫(kù)中Fresnel方程模型的結(jié)果與解析解一致。

定義衍射級(jí)

接下來(lái)，讓我們來(lái)檢查一下把周期性結(jié)構(gòu)引入模擬域之后會(huì)發(fā)生什么變化。考慮一個(gè)入射到下圖周期性結(jié)構(gòu)中、且α1，的平面波。如果波長(zhǎng)相對(duì)光柵間距足夠短，就可能會(huì)存在一個(gè)或多個(gè)衍射級(jí)。要理解這些衍射級(jí)，我們必須觀察由矢量n和k所定義的平面，以及由矢量n和k所定義的平面。

圖、平面波衍射圖示

首先，沿著由n和k所定義平面的法向觀察，我們能看到零階透射傳輸模式的存在，其方向如前所述按照斯涅爾定律定義。零階反射分量也存在。結(jié)構(gòu)中也可能存在一些光的吸收，不過(guò)未在圖片中顯示。下圖僅顯示了零階透射傳輸模式。間距d是由矢量n和k所定義平面中的周期性。

圖、零階透射傳輸模式圖示

對(duì)于足夠短的波長(zhǎng)，也可以有更高階的衍射模式。當(dāng)m時(shí)，下圖顯示了這些情況。

圖、短波長(zhǎng)的更高階衍射模式圖示

這些模式存在的條件是：mλ0

for:m…

其中m時(shí)的情況可以簡(jiǎn)化為斯涅耳定律。當(dāng)βm≠0時(shí)，如果光程差等于真空中波長(zhǎng)的整數(shù)倍，則發(fā)生相長(zhǎng)干涉，m階衍射光束的衍射角為βm。注意，正負(fù)m階的個(gè)數(shù)無(wú)需相同。

下一步，我們沿著由矢量n和k所定義的平面觀察。也就是說(shuō)，我們將視角繞z軸旋轉(zhuǎn)，直到入射波矢看上去沿表面的法向。進(jìn)入此平面的衍射標(biāo)注為n階光束。注意該平面上的周期性間距w不同，且正負(fù)n階的個(gè)數(shù)總是相同。

圖、沿矢量n和k所定義平面的衍射

設(shè)定周期性端口時(shí)，COMSOL會(huì)自動(dòng)計(jì)算這些m，n階模式，并定義監(jiān)聽(tīng)端口，從而可以計(jì)算出衍射至每種模式的能量有多少。

最后，我們必須考慮在波發(fā)生衍射后，其偏振可能會(huì)經(jīng)歷旋轉(zhuǎn)。因此，每個(gè)衍射級(jí)包含兩個(gè)正交偏振，面內(nèi)矢量和面外矢量分量。觀察由n和衍射波矢kD所定義的平面，衍射場(chǎng)可以有兩個(gè)分量。面外矢量分量是指偏振方向在衍射面外（由n和k)所定義的平面）的衍射光束，面內(nèi)矢量分量則為正交偏振。因此，如果面內(nèi)矢量分量在特定衍射級(jí)非零，則意味著入射波在衍射時(shí)經(jīng)歷了偏振的旋轉(zhuǎn)。對(duì)于n階模式，類似定義仍然適用。

圖、衍射波的面內(nèi)矢量和面外矢量圖示

考慮介電基底上的周期性結(jié)構(gòu)。光束以α1入射時(shí)，就會(huì)有更高的衍射級(jí)，對(duì)所有衍射級(jí)的可視化會(huì)變得非常復(fù)雜。在下圖中，入射平面波的方向用黃色矢量顯示。n衍射級(jí)在正z方向的衍射用藍(lán)色箭頭顯示，負(fù)z方向的衍射用青綠色箭頭顯示。n階模式的正向衍射顯示為紅色，負(fù)向衍射顯示為紫紅色。衍射可以在這些方向的每個(gè)方向上發(fā)生，衍射波的偏振方向可以在衍射面內(nèi)，也可以垂直于衍射面。衍射面本身可以顯示為一個(gè)圓弧。注意，在n模式下衍射面在正z和負(fù)z方向不同。

圖、對(duì)介電基底上所有衍射級(jí)的可視化

定義三維周期性結(jié)構(gòu)時(shí)，所有端口會(huì)自動(dòng)設(shè)定。它們獲取了這些不同的衍射級(jí)，并能夠計(jì)算每級(jí)的場(chǎng)和相對(duì)相位。理解這些端口的含義和解釋有助于模擬周期性結(jié)構(gòu)。