摘要：提出了一種面向硬件的均值、方差的高斯隨機噪聲生成方法。改進了傳統的采用蒙特卡洛方法實現均勻分布噪聲到同分布噪聲的快速轉化，利用映射函數方法實現個轉為，最大隨度地降低運算量。實驗證明本方法具有快速、高精度等優點.

高斯隨機噪聲在信號分析和處理中具有重要的價值。本文具體討論了一種面向硬件的高斯噪聲快速生成算法。算法原理為通過映射表法將均勻噪聲轉化生成高斯隨機噪聲。本方法占有內存小、運算速度快、精度高。實驗證明該方法能夠為視頻圖像實時添加高斯噪聲。

圖1

    原理框圖如圖1所示。圖1左半部分為均勻噪聲生成部分，采用模數取余法，依靠已有的K個隨機數種子，不斷生成新的隨機數，并將之向外輸出。圖1右半部分采用左半部分的輸出值生成映射表地址，將查表后得到的結果輸出，即為所要求的高斯噪聲值結果。

1 生成均勻分布噪聲

設x(1)，…，x(k)是給定的k個隨機數，在(-X，X)內均勻分布，相互獨立。第k+1個隨機數由x(1)和x(k)按照模X相加得到：

即x(k+1)仍然是(-X，X)之間的隨機數。在下一次運算時，將x(k+1)移到x(k)的位置，xk)移到x(k-1)，……，x(2)移到x{1}，然后再做模X運算，相加得到x(k+2)，如此循環，產生序列{xn}。

首先討論上面的模X運算。對于采用補碼運算的處理器而言，只要取X為處理器字長，則在不考慮進位的情況下，通常的加法就是模加運算。

然后采用數據結構實現上面的循環機制。設兩個指針：頭指針head和尾指針tail。每計算完一次噪聲值后，兩個指針都要向下移動一個位置。已到序列尾部，則重新指到序列的頭部，即按照加1模K運算：

    為了計算方便，選K為256。若用head和lnil指針做相對偏移地址，則可以采用1個字節存儲。加1運算之后若不考慮溢出，就等價于加1模256操作。

2 映射高斯噪聲

為了由均勻噪聲快速產生高斯噪聲，采用了映射函數法。其算法原理如圖2所示。

    將正態分布函數的自變量y進行合理的離散化，得到一系列函數值，構成一個數列。再將此數列中的任一個數yi映射到數軸x上的某個小區間段[xi0，xi1]，其中‖xi1－xi0‖=yi。取遍數列中所有的數值，得到一系列的小區間。將所有的小區間依次連接起來，中點置于數軸的零點，則構成變量x的取值區間[-x，x]。將數軸x上的各個小區間與y序列建立映射關系，則可以證明，如果采樣間隔足夠小，那么x域中的隨機分布將對應于y域中的高斯分布。

這個映射關系可以函數表示為y=f（x）。

其中x服從(-X，X)區間內均勻分布，而y服從均值為u、方差為σ的高斯分布。f函數曲線如圖3所示。

    在算法實現時，對y對應的高斯分布值進行量化處理，并為x分配一塊連續的內存區域[0，2X]，每個內存單元的(偏移地址-X)值代表了x值大小，單元內容存放了該單元對應的丁值。這片內存區域就是所需要的映射查找表。這個表具有通用性，可以預先計算好，在需要時可¨直接使用，不必再計算。

 對于(0，1)正態分布，圖4中的zi都小于1，沒有實際意義，所以將其放大了200倍；

則原始映射表描述為：

    原始映射表比較大，實際使用時對其做了粗采樣。對y對應的高斯分布值進行的量化也沒有采用圖4中均標準階梯形式，而是采用了如下粗采樣形式：

結果映射表[k]=原始映射表[k·d+d/2]   (2)

其中：采樣間隔d=∑yi／M．，量化處理曲線如圖5所示。

從圖5可以發現，兩邊較小處并沒有像階梯圖那樣截止為0，而是允許以小的概率出現非零值。試驗證明這種方式更好一些。

考慮高斯分布的實際情況，并經過試驗驗證y僅在[-4，4]之間取值，就能夠達到令人滿意的精度。圖6給出了X大小對噪聲精度的影響曲線，縱軸為平均誤差。

可以看出，當2X大于5500時，誤差達到了極小穩定狀態。為了方便計算，選擇2X=213=8192，即X=212=4096。

    圖7給出了實驗結果(均值為120，方差為40)：虛線部分為標準高斯分布的曲線，實線部分為噪聲直方圖，驗證了本方法的有效性。

3 精度討論

該方法主要利用兩個表：一個是循環產生均勻噪聲的表；另一個是映射表。這兩個表的數值都可以由前面介紹的方法計算，下面只討論它們的精度取舍。

循環表中256個種子的精度要求與映射表的大小有直接關系，對映射表采用了8192(8K)個單元。因此循環表的任務就是要在區間[-4096，4096]內產生均勻分布的隨機數。所以循環表中的種子序列x(1)，…，x(256)在[-4096，4096]內均勻分布。為了方便計算，將種子序列的分布調整到[-(2115-1)，(215-1)]之間，即X=215=32767。所以可以采用包含1位符號位共計16位來存儲種子數的補碼，這樣可以通過丟掉進位的補碼加法來實現模X加運算。補碼運算結果的高13位或右移3位，可以直接作映射表的偏名地址進行后續查表操作，并且滿足在[-4096，4096]內均勻分布。

    考慮實際情況下，待求的高斯噪聲分布的方差一般介于(0，100)之間，均值一般介于[-255，255]之間。而實際圖像灰度值是以整數[0，255]形式存在，所以噪聲的精度只要控制在整數范圍內即可，映射表的精度只要達到0．0l就足夠了。而映射表中數據的分布介于[-4．00，4．00]之間，若以整數形式存儲，將原始數據乘以128后就完全可以存放在16位長度單元中。

也可以在此基礎上對表進行修改，使得經過映射后高斯分布的均值和方差直接等于用戶給定的均值u和方差σ。修改比較簡單，將映射表中的每一個單元值y做如下替換：

y=(y*σ)>>7+u

此表中數據可以是原碼形式也可以是補碼形式具體需要而定。