作者：董名軒，香港中文大學(xué)（深圳）理工學(xué)院

1 引言

在日常工作和生活中，我們會(huì)接觸到許多不同類型的單位。比如大家熟知的國際基本單位（International System of Units, SI 單位），共有七個(gè)基本量：長度（米，m），質(zhì)量（千克，kg），時(shí)間（秒，s），電流（安培，A），熱力學(xué)溫度（開爾文，K），物質(zhì)的量（摩爾，mol）和發(fā)光強(qiáng)度（坎德拉，cd）。物理學(xué)各個(gè)領(lǐng)域中的其他的量，都可以由這七個(gè)基本量通過乘、除、微分或積分等數(shù)學(xué)運(yùn)算導(dǎo)出。此外，還有一些非 SI 單位制的單位，比如在電磁學(xué)中十分常見的計(jì)量單位，分貝（decibel, dB）。它是度量兩個(gè)相同單位的數(shù)量的比例的計(jì)量單位。其中，“分（deci）”表示十分之一，“貝（bel）”則取自于美國發(fā)明家亞歷山大·格雷厄姆·貝爾（Alexander Graham Bell）。

2 感知的差異

想更好地了解分貝這個(gè)單位的起源，我們不得不從感知的差異聊起。

在 19 世紀(jì)，不同國家的物理學(xué)家和心理學(xué)家，都發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：對(duì)于人體的感知來講，心理量和物理量有一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，即同一刺激的差別量必須達(dá)到一定比例，才能引起感覺的差別。先后對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)行過研究的學(xué)者們有：法國物理學(xué)家 P·布格爾、赫爾姆霍茨、德國萊比錫大學(xué)解剖學(xué)教授 E·H·韋伯、萊比錫大學(xué)物理學(xué)教授古斯塔夫·西奧多·費(fèi)希納、美國發(fā)明家亞歷山大·貝爾等。

韋伯研究發(fā)現(xiàn)：“人類產(chǎn)生可查覺的最小刺激的增加的量與初始存在的刺激成正比”，它可以用一個(gè)分?jǐn)?shù)來表示，這個(gè)分?jǐn)?shù)雖然隨著被試的感覺不同而有變化，但對(duì)于一定的感覺來說卻是不變的。比如用手提起 1 公斤的物體時(shí)，人們可能會(huì)在重量增加到 1.2 公斤時(shí)感受出重量的差異。而當(dāng)初始重量為 10 公斤時(shí)，人們可能需要在重量增加到 12 公斤時(shí)才會(huì)感受到明顯的差異。后來，韋伯的學(xué)生費(fèi)希納將韋伯的研究結(jié)果總結(jié)為了數(shù)學(xué)形式：，這便是人們所熟知的韋伯定律。其中，?I 代表刺激的差別感覺閾限（Just Noticeable Difference），I 代表標(biāo)準(zhǔn)刺激的強(qiáng)度，K 為一常數(shù)（又稱韋伯分?jǐn)?shù)或韋伯率）。

韋伯的學(xué)生費(fèi)希納在后續(xù)進(jìn)一步的研究中發(fā)現(xiàn)，不同人對(duì)不同的刺激有不同的敏感度。他認(rèn)為，主觀感覺與刺激強(qiáng)度的對(duì)數(shù)成正比。比如人對(duì)光和聲音的感知滿足等式，其中 I 為主體感受的強(qiáng)度，S 為刺激強(qiáng)度，S0?為刺激的閾值振幅，K 為一常數(shù)[12]。它說明心理量是刺激量的對(duì)數(shù)函數(shù)，即當(dāng)刺激強(qiáng)度以幾何級(jí)數(shù)增加時(shí)，感覺的強(qiáng)度以算術(shù)級(jí)數(shù)增加。這被后世稱為“費(fèi)希納定律”。簡單來說，這個(gè)定律說明了人的一切感覺，包括視覺、聽覺、膚覺（含痛、癢、觸、溫度）、味覺、嗅覺等，都遵從感覺不是與對(duì)應(yīng)物理量的強(qiáng)度成正比，而是與對(duì)應(yīng)物理量強(qiáng)度的常用對(duì)數(shù)成正比。

上圖是一張標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)的曲線圖，假設(shè) x 為刺激強(qiáng)度，y = log10(x) 為感受強(qiáng)度，切線的斜率變化為單位刺激量變化帶來的感受的變化。我們可以看到，人類對(duì)持續(xù)的、相同強(qiáng)度的刺激的反應(yīng)會(huì)逐漸變得遲鈍。這是高速公路不會(huì)修建成一條直路的原因，需要不斷地設(shè)置緩慢的轉(zhuǎn)彎以給司機(jī)不同的刺激，降低司機(jī)因反應(yīng)遲鈍造成事故的幾率。另一方面，這也是人類對(duì)自身的保護(hù)機(jī)制。在刺激量很大時(shí)，人體對(duì)于稍微改變的刺激反應(yīng)較小，以保護(hù)各種感受器官；而在刺激量較小時(shí)，人類對(duì)于稍微改變的刺激反應(yīng)較大，以保護(hù)身體的安全。

在這里，我們接觸到了 log，即對(duì)數(shù)運(yùn)算。為了便于接下來的介紹，我們需要先了解一些對(duì)數(shù)運(yùn)算的知識(shí)。

3 對(duì)數(shù)的簡單介紹

我們說對(duì)數(shù)為指數(shù)的反函數(shù)，并且稱 logb?a 為“a 以 b 為底的對(duì)數(shù)”。我們可以計(jì)算任意底的對(duì)數(shù) L = logb?a，它的意思是為了得到數(shù)字 a，必須以 b 為底的冪（指數(shù)），且 bL?= a 等同于(base)logarithm?= number[6]。舉個(gè)例子，25?= 32，則 log232?= 5。我們常用的對(duì)數(shù)性質(zhì)有：

以 10 為底的對(duì)數(shù)是日常生活中最常用的對(duì)數(shù)，被稱為常用對(duì)數(shù)，可寫為 y = log x，它們的運(yùn)算很方便，因?yàn)?10 的冪很容易計(jì)算[9]。除此以外，e 和 2 也是常用的底。

有了這些基礎(chǔ)的對(duì)數(shù)知識(shí)，我們馬上來討論分貝。我們將會(huì)了解，當(dāng)使用分貝單位時(shí)，能使工程運(yùn)算，尤其是涉及特別大或特別小的比量時(shí)，變得非常簡單。

4 分貝

4.1 亞歷山大·格雷厄姆·貝爾

我們前面提到過，“bel”取自于亞歷山大·格雷厄姆·貝爾的姓氏[10]。貝爾于 1874 年 3 月 3日出生于蘇格蘭愛丁堡市，1922 年 8 月 2 日逝世于加拿大新斯科舍省。在貝爾下葬那天下午 6：25，美國全國的電話線路停止服務(wù)了一分鐘，以示紀(jì)念[13]。

貝爾最被人所銘記的成就是他發(fā)明了電話。然而，他也在許多其它領(lǐng)域做出了非常大的貢獻(xiàn)。如：貝爾改進(jìn)了愛迪生發(fā)明的留聲機(jī)，發(fā)明了早期金屬探測器，還與凱西·鮑德溫一同設(shè)計(jì)出了當(dāng)時(shí)速度最快的水翼船 HD-1，速度達(dá)到了 30 英里每小時(shí)。貝爾也非常重視科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，他曾是國家地理學(xué)會(huì)的主席，《國家地理》及《科學(xué)》雜志的創(chuàng)始人之一。

此外，貝爾還有一件非常值得稱道的是他將自己的一生奉獻(xiàn)給了聾啞人的教育事業(yè)。他接過并且改進(jìn)了由他的父親，亞歷山大·梅爾維爾·貝爾開發(fā)的可視言語系統(tǒng)，這是一種用于幫助聾人學(xué)習(xí)以及提高他們語言能力的系統(tǒng)。著名作家海倫·凱勒就曾是貝爾的學(xué)生及摯友。也正是在這個(gè)過程中，他對(duì)人類的聽力系統(tǒng)進(jìn)行了深入的研究。

4.2 分貝的歷史及定義

在電話被發(fā)明后，自然地，人們需要量化地測量任何電話系統(tǒng)中的聲音傳輸效率[11]。在分貝之前，人們曾使用過兩種不同的單位來衡量，自然衰減單位（The Natural Attenuation Unit）和標(biāo)準(zhǔn)電纜英里（Mile of Standard Cable）。自然衰減單位的定義是：

其中 I1?和 I2?流入相同的阻抗，W1?和 W2?是由 I1?和 I2?流入相同的阻抗所產(chǎn)生的功率[10][11]。上式的最后一步用到了在給定系統(tǒng)的一點(diǎn)：，及對(duì)數(shù)的指數(shù)性質(zhì)。然而，由于自然衰減單位的尺寸不方便，人們更常使用另一單位，標(biāo)準(zhǔn)電纜英里[11]。標(biāo)準(zhǔn)電纜的定義為：阻值為 88 歐姆/英里的 19 股開線電纜，電容為 0.054 微法/英里[7]。標(biāo)準(zhǔn)電纜英里的定義為：

或

通過與自然衰減單位的對(duì)比，我們知道 1 標(biāo)準(zhǔn)電纜英里約等于自然衰減單位[11]。這可能會(huì)讓人有些困惑，我們可以通過一張圖片來描述。

可以看到，當(dāng)假設(shè)的時(shí)候，我們得到了約 2 自然衰減單位和約 20 標(biāo)準(zhǔn)電纜英里。我們也可以說，標(biāo)準(zhǔn)電纜英里相較于自然衰減單位可以反映出更細(xì)微的變化。

由于標(biāo)準(zhǔn)電纜的衰減常數(shù)隨頻率變化而變化，且使用 796.4 周期（ω = 5000）的頻率沒有得到普遍認(rèn)可，人們采用了一個(gè)新單位，新電話傳輸單位（New Telephone Transmission Unit），并且 TU 單位有如下優(yōu)點(diǎn)：(1) 不隨頻率變化而變化；(2) 尺度合適；(3) 具有簡單的物理意義[11]。它的定義為：

TU 的大小被選擇為與 MSC 相近。準(zhǔn)確地說，1.0TU=0.947MSC 或 1.0MSC=1.056TU[7]。

而 TU 單位，就是分貝（dB）單位的前身！在 1928 年，貝爾實(shí)驗(yàn)室將 TU 重新命名為“decibel”，即分貝。而且與我們在網(wǎng)上看到的消息不同，“貝爾”與“分貝”這兩個(gè)單位并不是先后被定義的，而是同時(shí)定義的。在這篇 TU Becomes Decibel 中，作者 R.V.L. Hartley 指出：因?yàn)橐粋€(gè)乘方的對(duì)數(shù)被乘了十以得到 TU 單位，這提示 TU 天然為派生單位，則“貝爾”之名應(yīng)被授予其基本單位；又因?yàn)?TU 的數(shù)值為貝爾數(shù)值的十倍，則 TU 的大小應(yīng)為貝爾的十分之一，所以它將成為“分貝”[10]。

4.3 分貝的基本性質(zhì)

1) 我們?yōu)槭裁词褂梅重?/p>

簡單地講：使用分貝單位將極大簡化我們的計(jì)算！您已經(jīng)了解，分貝其實(shí)就是對(duì)數(shù)運(yùn)算，它的特點(diǎn)是可以將乘法轉(zhuǎn)換為加法、除法轉(zhuǎn)換為減法以及開根號(hào)運(yùn)算轉(zhuǎn)換為除法。在對(duì)數(shù)運(yùn)算被發(fā)明的最早期，它的目的就是為了減輕當(dāng)時(shí)科學(xué)家們計(jì)算的難度。最初的對(duì)數(shù)以對(duì)數(shù)表的形式出現(xiàn)，您可以將它理解為原始的計(jì)算器。

在這里，我們引入幾個(gè)便于我們?nèi)粘＠斫夂瓦\(yùn)算的分貝數(shù)：1dB、3dB 和 10dB。我們說：±1dB對(duì)應(yīng)增加或減少 26% 的增益；+3dB 增益為增加一倍功率，-3dB 為增益降低到原來的一半；+10dB 的增益需要十倍的功率，-10dB 的變化意味著將原始值降低到?。在聲學(xué)領(lǐng)域，由于人體對(duì)刺激感知的特點(diǎn)，+10dB 的變化在經(jīng)驗(yàn)中被定義為大多數(shù)人認(rèn)為“兩倍音量大小”的值，所以，假如您想要讓家中耳機(jī)或音響的聲音大一倍，您將需要十倍的功率！也就是提升 10dB 的功率。以此類推，如果我們需要輸出功率增加 20dB，則需要一百倍的功率！我們通過一個(gè)小推導(dǎo)來支持這個(gè)結(jié)論。以 +3dB 為增加一倍功率為例，假設(shè)我們正在計(jì)算的某一輸出為

將輸出功率增加一倍，我們會(huì)得到

根據(jù)對(duì)數(shù)的乘法性質(zhì)，上式將等于

這時(shí)，如果將上式第二項(xiàng)輸入計(jì)算器，我們將會(huì)得到 3.01029995664，即大約 3dB。余下的推論將類似。也就是說，假如我們有兩個(gè)分別為 60dB 的功率放大器，那么它們一起輸出時(shí)的總功率將會(huì)是約 63dB，而不是 120dB。

又假設(shè)我們有一串聯(lián)放大器系統(tǒng)，其增益分別為 10dB，6dB，1dB，總增益為 17dB。假如

我們使用公式計(jì)算，根據(jù)分貝瓦的公式

假設(shè)輸入為 1W 時(shí)，我們得到。但是，計(jì)算這樣的冪指數(shù)略顯不便。而當(dāng)我們利用分貝的性質(zhì)時(shí)，只需要將其分成 10dB + 3dB + 3dB + 1dB，對(duì)應(yīng)的放大的倍數(shù)為 10倍，2 倍，2 倍和 1.26 倍。代入 1W 的輸入，輸出約為 1W ? 10 ? 2 ? 2 ? 1.26 = 50.4W。可見兩者非常的接近。這就是在工程實(shí)踐中，分貝單位能夠帶來的便捷性，可以讓我們更簡單地進(jìn)行運(yùn)算。

2) 分貝的簡單估算

在某些時(shí)刻，我們可能需要快速地估算某些系統(tǒng)的增益，這時(shí)精度相對(duì)不那么重要。我們需要記住如下三個(gè)等式：

10 log10(2) ≈ 3.01029996

10 log10(3) ≈ 4.77121255

10 log10(5) ≈ 6.98970004

這樣，我們就可以進(jìn)行估算了。例如，設(shè)我們有一系統(tǒng)，它的增益為

10 log10(15)dB

則根據(jù)對(duì)數(shù)的乘法運(yùn)算性質(zhì)，它也等于

10 log10(3 ? 5)dB = 10 log10(3)dB + 10 log10(5)dB

即該系統(tǒng)增益約等于 4.8 + 7.0 = 11.8dB。我們將 10 log10(15) 輸入計(jì)算器驗(yàn)算，得出的結(jié)果約等于 11.76091259。再舉一個(gè)小例子，假如我們的系統(tǒng)輸出為

10 log10(7)dB

這時(shí)我們可以將它估算為

我們計(jì)算的結(jié)果約為 8.41dB，而 10 log10(7) ≈ 8.45dB。

有了上面三個(gè)基本的對(duì)數(shù)等式，我們可以快速估算出幾乎所有系統(tǒng)的分貝輸出。

3) 分貝自身是無量綱量

在物理學(xué)中，分為有量綱量與無量綱量兩種量。一類物理量的大小與度量時(shí)所選用的單位有關(guān)，稱之為有量綱量，例如長度、時(shí)間、質(zhì)量、速度、加速度、力、動(dòng)能、功等就是常見的有量綱量；另一類物理量的大小與度量時(shí)所選用的單位無關(guān)，則稱之為無量綱量，例如角度、兩個(gè)長度之比、兩個(gè)時(shí)間之比、兩個(gè)能量之比等[16]。具體到分貝單位，當(dāng)它僅作為 dB 時(shí)，是一個(gè)無量綱量，因?yàn)樗鼉H僅是兩個(gè)功率或電流的比值的對(duì)數(shù)，與度量時(shí)所選的單位無關(guān)；而當(dāng)分貝加入后綴時(shí)，例如 dBW，這時(shí)它就成為了有量綱量，因?yàn)楝F(xiàn)在它以 1W 作為參考單位。

4.4 常見的分貝單位

分貝也被應(yīng)用于多種不同的學(xué)科與領(lǐng)域，我們在這里簡單介紹幾種。它們是：

1) dBm 與 dBW

分貝毫瓦與分貝瓦是一種電平單位，用來表示功率電平相對(duì)于毫瓦或瓦的分貝。分貝毫瓦的定義為

其中 P1?被標(biāo)準(zhǔn)化至 1 毫瓦[15]。我們也可以通過對(duì)數(shù)的性質(zhì)推出，若要將任意 dBm 表示為毫瓦，所使用的公式為

分貝瓦與分貝毫瓦類似，只不過使用 1W 而不是 1mW 作為參考。在電話與音頻電路中，0.775V 信號(hào)電平施加于 600? 的電阻產(chǎn)生 1 毫瓦的功率[3]，而在射頻電路系統(tǒng)中，電阻的參考值為 50?[4]。

2) dBu 與 dBV

dBu 和 dBV 都是專門用于測量電壓的分貝單位。其中，dBu 是相對(duì)于 0.775V 的 dB 單位；dBV 是相對(duì)于 1V 的 dB 單位，于是我們有：0dBu = 0.775V ，0dBV = 1V ，并且 dBu 始終等于 dBV + 2.21[2]。其它與 dBu 和 dBV 有關(guān)的公式有[8]：

需要注意的是，dBV 的 V 應(yīng)始終大寫，以便于同 dBu 區(qū)分。

3) dBi 與 dBd

dBi 或 dB(isotropic) 的定義為天線的增益與理論各向同性天線的增益的比較，理論各向同性天線在所有方向上均勻分布能量；dBd 或 dB(dipole) 的定義則為天線增益與半波偶極子天線增益的比較。dBi 的公式為

Ix?為定向天線的電磁強(qiáng)度，Iz?為各向同性天線的電磁強(qiáng)度[14]。上式也可表達(dá)為

GdBi?= 10 log10?(G)

G 為天線的增益因子。然而，我們無法真正制造出理論的各向同性天線，所以人們也將簡單且效率極高的半波偶極子天線作為參考對(duì)象，即 dBd。由于半波偶極子天線的定向增益為1.64，則它的公式為

通常來講，

GdBd?≈ GdBi?- 2.15dB

這兩種單位都經(jīng)常被使用，需要注意的是：當(dāng)指定了天線增益單位為 dBi 或 dBd 時(shí)，一般不會(huì)產(chǎn)生歧義。而如果僅指定了天線增益單位為 dB，則需要進(jìn)一步參考資料。

圖源：TechTarget

不同的 dBi 增益

圖源：Tele-Tech Magazine

飛機(jī)高度計(jì)的半波偶極子天線

4) dBc

dBc 或 decibel relative to carrier 的定義為信號(hào)與載波信號(hào)的功率比。如令 Psignal?為某調(diào)制信號(hào)功率，Pcarrier?為未調(diào)制載波信號(hào)功率，則瞬時(shí)調(diào)制信號(hào)信號(hào)的強(qiáng)度為

若 SdBc?為正，信號(hào)強(qiáng)度大于載波信號(hào)強(qiáng)度；反之若 SdBc?為負(fù)，則信號(hào)強(qiáng)度小于載波信號(hào)強(qiáng)度[5]。

5) dBsm

又稱 dB (m2)，相較于一平方米的分貝單位，常用在雷達(dá)散射截面（Radar Cross Section,RCS）測試與天線有效面積的測試中。

圖源：Calculation of Aircraft Target’s Single-Pulse Detection Probability[17]

F-117 的 RCS 測試結(jié)果

6) dB SPL

聲壓級(jí)是我們形容聲音大小的單位，也是日常最多接觸到的分貝單位。例如安靜的房間約為30dB、正常說話的聲音約為 60dB、飛機(jī)起飛時(shí)約 140dB。聲壓級(jí)的定義為

其中 ph?為參考聲壓級(jí)，即在 1kHz 時(shí)為 2?10?5P a[1]，通常被認(rèn)為是人類聽力的閾值。

5 結(jié)語

希望經(jīng)過本文的介紹，您已經(jīng)大致了解了對(duì)數(shù)與分貝的概念，它們在我們身邊的應(yīng)用遠(yuǎn)超我們的想象。希望與您共勉，一起探索廣袤的知識(shí)海洋。

作者：董名軒，香港中文大學(xué)（深圳）理工學(xué)院

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編輯：黃飛

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