本文主要是先闡述傳統Gardner算法的原理，然后給出改進后的設計和FPGA實現方法，最后對結果進行仿真和分析，證明該設計方案的正確、可行性。

　　0 引言

　　數字通信中，位同步性能直接影響接收機的好壞，是通信技術研究的重點和熱點問題。通信系統中，接收端產生與發送基帶信號速率相同，相位與最佳判決時刻一致的定時脈沖序列，該過程即稱為位同步。常見的位同步方法包括濾波法和鑒相法。濾波法對接收波形進行變換，使之含有位同步信息，再通過窄帶濾波器濾出，缺點是只適用于窄帶信號。最為常用的位同步方法是鑒相法，包括鎖相法和內插法兩種。鎖相法采用傳統鎖相環，需要不斷調整本地時鐘的頻率和相位，不適合寬速率范圍的基帶碼元同步。而內插法則利用數字信號的內插原理，通過計算直接得到最佳判決點的值和相位。

　　Gardner算法即是基于內插法的原理，通過定時環路調整內插計算的參數，從而跟蹤和鎖定位同步信號，該算法的優點在于不需要改變本地采樣時鐘，可以適應較寬速率范圍內的基帶信號，因而具有傳統方法不可替代的優勢。Gardner算法的實現方法，為算法的應用提供了基礎。Farrow結構非常適合實現Gardner算法的核心，即內插濾波器部分，其優點是資源占用較少，且濾波器系數實時計算，便于內插參數調整。定時誤差檢測，但在定時誤差檢測時需要信號中存在判定信息，并且對載波相位偏差敏感。不足進行了改進，提出了GA-TED（Gardner Timing Error Detection）算法，其優點是不需要預知判定信息，且獨立于載波同步，并且適合FPGA 實現。改進的Gardner 算法，并將其應用于M-PSK 系統。提高了Gardner 算法的抗自噪聲能力，即降低了對本地時鐘的要求。

　　本文基于FPGA 平臺并采用Gardner 算法設計，其中，內插濾波器采用Farrow 結構，定時誤差檢測采用GA-TED算法。同時對傳統Gardner算法結構進行了改進，使環路濾波器和NCO的參數可由外部控制器設置，以適應不同速率的基帶碼元，實現通用的位同步器的設計方案。此外，本設計方案還對FPGA 代碼進行了優化，節省了大量硬件資源。最后進行了仿真和分析，給出了仿真結果，證實了該方案的可行性。

　　1 傳統Gardner 算法與改進

　　1.1 傳統Gardner算法基本原理

　　傳統Gardner算法結構如圖1所示。

　　在圖1中，輸入的連續時間信號x（t） 碼元周期為T，頻帶受限。在滿足奈奎斯特定理的條件下，接收端采用獨立時鐘對x（t） 進行采樣。內插濾波器計算出內插值y（k），送至定時環路進行誤差反饋和參數調整，并與控制器輸出的位同步脈沖BS一起送往解調器的抽樣判決器。

　　定時環路包含定時誤差檢測、環路濾波器和控制器。定時誤差檢測提取插值時刻和最佳判決時刻的誤差；該誤差經環路濾波器濾除高頻噪聲后送給控制器；控制器計算插值時刻（即為位同步信號的2倍頻）和誤差間隔。插值時刻和誤差間隔用于調整內插濾波器的系數，使插值時刻盡可能與最佳判決點同相，最終實現位同步信號的提取。

　　1.2 改進的Gardner算法結構

　　從上節可以看出，傳統Gardner算法無法滿足較寬速率范圍基帶信號的位同步要求。為實現該要求，本設計在FPGA 平臺的基礎上，對算法實現結構進行了改進，改進結構如圖2所示。

　　圖2中，內插濾波器采用Farrow結構的FIR 濾波器實現，濾波器系數實時計算；定時誤差檢測采用獨立于載波且采樣點較少的GA-TED 算法；環路濾波器、內部控制器可由外部控制器設置參數，基帶碼元速率變化時，相應參數可以隨之變化。因此，本設計可以滿足位同步器的通用性要求。

　　該同步器工作過程如下：外部控制器根據基帶碼元速率設置相應參數，通過外部控制器接口將控制、地址和數據信號分別送往分頻器、環路濾波器和內部控制器。時鐘電路分別提供采樣時鐘和FPGA 時鐘，FPGA工作時鐘在片內通過分頻器產生所需頻率的時鐘，供FPGA 各模塊使用。輸入連續時間信號x（t） 經由獨立時鐘控制的ADC 進行采樣，轉換為8 位數字信號送至FPGA 內，符號化后變為有符號數字序列，送入內插濾波器模塊。內插濾波器根據輸入信號的采樣值和內部控制器給出的參數μk，在每個插值時刻kTi 計算出最佳判決點的內插值y（kTi）。定時誤差檢測計算出誤差μτ （n），輸出至環路濾波器。環路濾波器依據當前的參數設定，濾除噪聲并將誤差信息送給內部控制器。內部控制器以NCO為核心，根據處理后的誤差信息和設定的頻率字參數調整插值時刻kTi，使之盡可能接近最佳判決時刻，并輸出位同步脈沖BS，同時計算出誤差間隔μk 送給內插濾波器，進行內插值計算，最終完成定時信息的恢復。

　　2 FPGA設計

　　2.1 整體結構設計

　　根據圖2的算法結構，FPGA設計采用模塊化方式，整體結構的頂層圖如圖3所示。

　　從圖3可以看到，該設計包含分頻器（DIV_FRE）、符號化（SYM）、內插濾波器（INTERPOLATION）、定時誤差檢測（TED）、環路濾波器（LPF）、內部控制器（INTER_CTL）和外部控制器接口的時序電路（EXTER_CTL）共7個模塊。其中，分頻器由片外晶振提供時鐘輸入，分頻后為片內其他模塊提供相應時鐘。其中碼元時鐘的分頻系數可由外部控制器通過接口進行設置。符號化是將A/D采樣產生的無符號數轉換為有符號數，以便后續模塊進行帶符號的運算。

　　外部控制器接口的時序電路將外部控制器送來的控制信號（ALE和RD）、地址信號（P2.0、P2.1）和數據信號（P0口）、轉換為FPGA 內分頻器、環路濾波器和NCO的使能信號和參數，實現對位同步器各參數的設置。

　　分頻器、符號化和外部控制器接口模塊實現較為簡單，不再贅述。而內插濾波器、定時誤差檢測、環路濾波器和內部控制器的實現較為復雜，且本設計通過采用相應算法和改進結構，實現了位同步器的通用性。本文將詳細闡述這些模塊的設計。

　　2.2 模塊詳細設計

　　2.2.1 內插濾波器設計

　　內插濾波器是完成算法的核心，它根據內插參數實時計算最佳判決點的內插值，即：

　　式中：mk 為內插濾波器基點索引，決定輸入序列中哪些采樣點參與運算，它由插值時刻kTi 確定；μk 為誤差間隔，決定了內插濾波器的沖激響應系數［1］.kTi 和μk 的信息由內部控制器反饋回來。

　　本設計的內插濾波器采用基于4 點分段拋物線多項式的Farrow結構實現。將式（1）變換為拉格朗日多項式，即令：

　　根據式（2）和（3），內插濾波器程序實現結構如圖4所示。

　　從圖4可以看到，該結構由1個移位器、5個觸發器、 8個相加器、2個乘法器組成，比直接型FIR節省10個乘法器、4個相加器的資源。其中，除以2的運算采用數據移位實現，避免使用除法器。輸入的8位數據 x，計算后得到10位的內插值y 輸出。由于內部所有寄存器經計算后，均采用最小位數，有效地減少了Logic Elements資源的占用。

　　2.2.2 定時誤差檢測設計

　　定時誤差檢測程序采用獨立于載波相位偏差的GA-TED算法。該算法每個符號周期只需要兩個插值，每個碼元周期輸出一個誤差信號μτ （n） ，即：

　　其中，y（n） 表示第n 個碼元選通時刻的內插值，前后兩個內插值的插值代表誤差方向；y（n - 1 2） 表示第 n 個和第n - 1 個碼元的中間時刻內插值，代表誤差大小。

　　FPGA實現時，為避免乘法運算，采用y（n） 和y（n - 1）的符號來代替實際值［8］，即采用式（5）計算誤差信息：

　　根據式（5）進行程序設計，誤差的正負方向判斷采用case 語句，當y（n） 和y（n - 1） 的符號位分別為“0”和“1”時，y（n - 1 2）的符號位不變；當符號位分別為“1”和“0”時，y（n - 1 2） 的符號位取反；當符號位為“0”“0”或“1”“1”時，令輸出的μτ （n） = 0.TED程序在1 Ti 的時鐘控制下進行運算，最終得到29位誤差數據，并以1 T 的速率即碼元速率輸出至環路濾波器電路。

　　2.2.3 環路濾波器設計

　　本文對Gardner算法中的環路濾波器進行了改進，根據通用位同步器的要求，采用二階數字濾波器，并且開放濾波器參數（C1，C2 ） 和使能（c_en）端口，當碼元速率變化時，通過外部控制器來改變參數，實現濾波器的通用性。濾波器結構如圖5所示。

　　從圖5可以看到，濾波器的輸出為：

　　式中：Ko Kd 為環路增益；ζ 為阻尼系數，取ζ =0.707;T 為采樣時間間隔，即相位調整間隔；ωn 為無阻尼振蕩頻率。

　　為減少資源占用，環路濾波器中的乘法運算均采用移位方式實現，處理后的誤差信息送給內部控制器。

　　2.2.4 內部控制器設計

　　內部控制器根據定時誤差信息，調整插值頻率1 Ti和誤差間隔μk ，并輸出位同步脈沖BS，它包含NCO（Numerically Controlled Oscillator）和誤差間隔計算兩部分。該程序提供接口（頻率字fw 和使能端fw_en），外部控制器可以通過該接口輸入參數。

　　本設計中NCO 采用與文獻［10］類似的DDS（DirectDigital Synthesis）結構，其頻率控制字Fw 可由外部控制器設置，其結構如圖6所示。

　　圖6中，M 為頻率控制字位數，N 為相位累加器和相位寄存器的位數。這里取M = N = 23，采用遞減型的NCO，歸一化后相位累加器的累加值為：

　　式中：Fw 為頻率控制字；W （mk ） 為環路濾波器輸出的誤差信號，二者由環路濾波器提供，決定了NCO的溢出周期。其中，當：

　　NCO 溢出信號即為提取出的位同步信號的2 倍頻（2BS），經2分頻后可以得到位同步脈沖（BS）輸出，2BS同時作為內插濾波器和誤差間隔計算的使能信號。

　　誤差間隔μk 在NCO 溢出后的下一個Ts 時刻進行計算，環路鎖定時：

　　將其截斷為8位數據送給內插濾波器。

　　本設計同時對代碼進行了優化，數據有效位的截取、內插濾波器的結構優化、乘法采用移位計算代替等措施，有效地節省了硬件資源，優化前和優化后的資源占用情況對比見表1.

　　3 仿真和分析

　　3.1 Matlab仿真

　　本文采用Matlab對算法進行理論仿真，輸入采樣值x（m） 為［-1，1］之間的隨機碼，采樣頻率上限為20 MHz，令碼元速率分別為2 Kb/s，600 Kb/s，10 Mb/s，環路濾波器、內部控制器參數隨碼元速率變化。取內插濾波器的插值輸出y（kTi） 做散射圖分析，驗證對不同速率的基帶信號，內插值是否接近最佳判決值，如圖7所示。

　　從圖7可以看出，在基帶速率和采樣率滿足奈奎斯特定理的條件下，該仿真輸出的內插值均集中在理想值 -1和1周圍，雖然有一定的模糊，且頻率越高，模糊程度越大，但碼元判決閾值在0值點，所以判決值無需嚴格為±1，該圖表明對于較寬速率范圍內的基帶信號，輸出的插值均能夠較好地用于碼元判決，即算法正確。

　　3.2 FPGA仿真

　　在Quartus下對本設計進行仿真?；鶐盘柌捎肕 序列，由FPGA生成，令基帶碼速率分別為2 Kb/s，600 Kb/s，1 Mb/s，同時分頻器、NCO 及環路濾波器參數也做相應設置，仿真結果如圖8所示。

　　在圖8中，x為基帶碼元序列，y為內插值輸出，clk_t為基帶碼元時鐘，clk_bs為提取出的位同步信號。從圖中可以看到，clk_bs經過定時環路調整，其上升沿逐漸向clk_t的下降沿（即最佳判決點）靠近，且隨著基帶碼元速率的變化，clk_bs也會隨之變化，但其中心頻率與clk_t相同，相位與最佳判決點相差不超過半個碼元周期，可以進行碼元判決，這表明本設計對2 Kb/s~1 Mb/s內的基帶信號，均可實現位同步。

　　4 結語

　　本文提出了一種基于FPGA的通用位同步器的設計方案。該設計方案中的同步器在傳統Gardner 算法的基礎上進行了改進，其中，內插濾波器采用Farrow結構，定時誤差檢測采用GA-TED算法，環路濾波器和內部控制器參數可由外部控制器設置，因而實現了較寬速率范圍內基帶碼元的位同步。仿真結果表明，該方案占用FPGA資源較少，并且在實際應用中具有可靠有效性。