基于FPGA的嵌入式處理器的浮點系統

浮點算法不遵循整數算法規則，但利用 FPGA 或者基于 FPGA 的嵌入式處理器不難設計出精確的浮點系統。

工程人員一看到浮點運算就會頭疼，因為浮點運算用軟件實現速度慢，用硬件實現則占用資源多。理解和領會浮點數的最佳方法是將它們視為實數的近似值。實際上這也是開發浮點表達式的目的。正如老話所說，真實的世界是模擬的，有許多電子系統在與真實世界的信號打交道。因此，對于設計這些系統的工程師來說，有必要理解浮點表達式以及浮點計算的優勢和局限性。這將有助于我們設計可靠性更高、容錯性更好的系統。

首先深入了解一下浮點運算。通過一些示例計算就可以看到浮點運算不如整數運算直接，工程師在設計使用浮點數據的系統時必須考慮這一點。這里有個重要的技巧：用對數來運算極小的浮點數據。我們的目的是熟悉一些數值運算的特點，把重點放在設計問題上。本文結尾列出的參考文獻中有更加深入的介紹。

就設計實現而言，設計人員可以使用賽靈思 LogiC ORE? IP Floating-Point Operator 生成和實例化RTL 設計中的浮點運算符。如果采用 FPGA 中的嵌入式處理器構建浮點軟件系統，則可以使用 Virtex-5 FXT 中面向PowerPC 440 嵌入式處理器的 LogicCORE IP Virtex?-5輔助處理器單元 (APU) 浮點單元 (FPU)。

浮點運算 101
IEEE 754-2008 是現行的浮點運算 IEEE 標準。(1)它取代了該標準的 IEEE 754-1985 和 IEEE 754-1987 版本。該標準中的浮點數據表達規則如下：
? 要求零帶符號：+0，-0
? 非零浮點數可表達為 (-1)^s x b^e x m，這里：s 為 +1 或者 -1，用于表明該數為正數還是負數，b是底數（2 或者 10），e 是指數，m 則是以 d0.d1d2—dp-1 形式表達的數，這里 di 對以 2 為底數的情況可以是 0 或者 1，對以 10 為底數的情況可以是0 和 9 之間的任意值。請注意小數點應緊跟 d0。
? 分正負的極限：+∞，-∞。
? 非數值，有兩種形式：qNaN（靜態）和 sNaN（信號）。

表達式 d0.d1d2—dp-1 指“有效值”，e 為“指數”。有效值總共有 p 位數，p 即為表達式的精度。IEEE754-2008 定義了五種基本的表達式格式，三種用于 2 為底數的情況，兩種用于 10 為底數的情況。標準中還提供更多的衍生格式。IEEE 754-1985 中規定的單精度浮點數和雙精度浮點數分別稱為 binary32 和 binary64。對每種格式都規定有最小的指數 emin 和最大的指數 emax。

可以用浮點數格式表達的有限值的范圍取決于底數(b)、精度 (p) 和 emax。該標準一般將 emin 定義為1-emax：
? m 是 0 到 b^p-1 內的整數
例如，在 p=10 和 b=2 的情況下，m 就介于 0 到1023 之間。
? 對給定的數，e 必須滿足下式
1-emax<=e+p-1<=emax
例如，如果 p=24，emax=+127，則 e 的取值范圍是-126 到 104。

這里需要清楚一點，即浮點表達式往往不是唯一的。

例如，0.02x10^1 和 2.00x10^(-1) 都代表相同的實數，即0.2。如果第一位數 d0 為 0，則稱該數值被“標準化”。同時，對某個實數來說，可能不存在浮點表達式。例如，0.1 在十進制中是一個確定的值，但它的二進制表達式是一個小數點后 0011 的無窮循環。因此，0.1 無法用浮點格式確定地表達。表 1 給出了 IEEE 754-2008 規定的五種基本格式。

浮點計算的誤差
因為要用固定位數來表達無窮數量的實數，因此在浮點計算中四舍五入是必不可少的。這就會不可避免地帶來舍入誤差，故需要有一種方法來衡量結果與采用無窮精度計算時的差距。我們來觀察一下 b=10 和 p=4 的浮點格式。用這種格式，.0123456 可以表達成 1.234x10^(-2)。很明顯這種表達方式在最后位置單位 (ulps) 發生了 .56 的差異。又如，如果浮點計算的結果是 4.567x10^(-2)，而采用無窮精度計算的結果是 4.567895，則最后差 .895 最后位置單位。

“最后位置單位”(ulps) 是規定這種計算誤差的一種方法。相對誤差是另一種用來衡量浮點數近似實數誤差的方法。相對誤差被定義為實數與浮點數之差除以實數的商。比如，將 4.567895 用浮點數表達為 4.567x10^(-2) 時的相對誤差為 .000895/4.567895≈.00019。根據標準的要求，每個浮點數的正確計算結果的誤差應不大于 0.5ulps。

浮點系統設計
在為數值應用開發設計的時候，很重要的一環是考慮輸入的數據或者常數是否可以為實數。如果可以為實數，則在完成設計之前需要注意一些問題。需要檢驗來自數據集的數值在浮點表達式中是否很接近，有沒有出現過大或者過小的情況。下面以二次方程求根為例。二次方程的根α 和 β 分別表達為下面兩個等式：