什么是巴特沃斯濾波器

　　巴特沃斯濾波器是電子濾波器的一種。巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶的頻率響應(yīng)曲線最平滑。這種濾波器最先由英國工程師斯替芬·巴特沃斯（StephenButterworth）在1930年發(fā)表在英國《無線電工程》期刊的一篇論文中提出的。巴特沃斯濾波器的振幅對角頻率單調(diào)下降，并且也是唯一的無論階數(shù)，振幅對角頻率曲線都保持同樣的形狀的濾波器。巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最大限度平坦，沒有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12分貝、三階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻18分貝、如此類推。

　　巴特沃斯濾波器特性

　　巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最大限度平坦，沒有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。在振幅的對數(shù)對角頻率的波特圖上，從某一邊界角頻率開始，振幅隨著角頻率的增加而逐步減少，趨向負無窮大。

　　一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻6分貝，每十倍頻20分貝。二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12分貝、三階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻18分貝、如此類推。巴特沃斯濾波器的振幅對角頻。單調(diào)下降，并且也是唯一的無論階數(shù)，振幅對角頻率曲線都保持同樣的形狀的濾波器。只不過濾波器階數(shù)越高，在阻頻帶振幅衰減速度越快。其他濾波器高階的振幅對角頻率圖和低級數(shù)的振幅對角頻率有不同的形狀。

　　巴特沃斯濾波器原理

　　巴特沃斯型濾波器在現(xiàn)代設(shè)計方法設(shè)計的濾波器中，是最為有名的濾波器，由于它設(shè)計簡單，性能方面又沒有明顯的缺點，又因它對構(gòu)成濾波器的元件Q值較低，因而易于制作且達到設(shè)計性能，因而得到了廣泛應(yīng)用。其中，巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶的頻率響應(yīng)曲線最平滑。

　　濾波器的截止頻率的變換是通過先求出待設(shè)計濾波器的截止頻率與基準(zhǔn)濾波器的截止頻率的比值M，再用這個M去除濾波器中的所有元件值來實現(xiàn)的，其計算公式如下：M=待設(shè)計濾波器的截止頻率/基準(zhǔn)濾波器的截止頻率。

　　濾波器的特征阻抗的變換是通過先求出待設(shè)計濾波器的特征阻抗與基準(zhǔn)濾波器的特征阻抗的比值K，再用這個K去乘基準(zhǔn)濾波器中的所有電感元件值和用這個K去除基準(zhǔn)濾波器中的所有電容元件值來實現(xiàn)的。

　　巴特沃斯濾波器與其它濾波器比較

　　下圖是巴特沃斯濾波器（左上）和同階第一類切比雪夫濾波器（右上）、第二類切比雪夫濾波器（左下）、橢圓函數(shù)濾波器（右下）的頻率響應(yīng)圖。

　　特沃斯濾波器優(yōu)點

　　巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最大限度平坦，沒有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。在振幅的對數(shù)對角頻率的波得圖上，從某一邊界角頻率開始，振幅隨著角頻率的增加而逐漸減少，趨向負無窮大。

　　一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻6分貝，每十倍頻20分貝。二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12分貝，三階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻18分貝，如此類推。巴特沃斯濾波器的振幅對角頻率單調(diào)下降，并且也是唯一的無論階數(shù)、振幅對角頻率曲線都保持同樣的形狀的濾波器。只不過濾波器階數(shù)越高，在阻頻帶振幅衰減速度越快。其他濾波器高階的振幅對角頻率圖和低級數(shù)的振幅對角頻率有不同的形狀。

　　巴特沃斯濾波器是濾波器的一種設(shè)計分類，類同于切比雪夫濾波器，它有高通，低通，帶通，高通，帶阻等多種濾波器。它在通頻帶內(nèi)外都有平穩(wěn)的幅頻特性，但有較長的過渡帶，在過渡帶上很容易造成失真，我在調(diào)用MATLAB里的巴特沃斯濾波器做仿真時，信號總會在第一個周期略微有些失真，但往后的幅頻特性就非常的好。

　　巴特沃斯濾波器主要參數(shù)介紹

　　（1）［N，wc］=buttord（wp，ws，RP，As，’s’）

　　該格式用于計算巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)N和3db截止頻率wc。Wp、ws和wc是實際模擬角頻率（rad\s）。Rp和As為通帶最大衰減和最小衰減。

　　（2）［Z，P，k］=buttap（N）

　　該格式用于計算N階巴特沃斯歸一化模擬低通原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點和增益因子，返回長度為N的列向量Z和P，分別給出N個零點和極點的位置，K表示濾波器增益。

　　（3）Y=filter（b，a，x）

　　式中b表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子多項式的系數(shù)矩陣；a表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母多項式的系數(shù)矩陣；x表示輸入序列；filter表示輸出序列。IIR函數(shù)實現(xiàn)的直接形式。

　　（4）［b，a］=butter（N，wc，‘ftype’）

　　計算N階巴特沃斯數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項式的系數(shù)向量b、a。

　　說明：調(diào)用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)和3dB截止頻率的歸一化值，一般是調(diào)用buttord格式（1）計算N和wc。系數(shù)b、a是按照z-1的升冪排列。

　　（5）［B，A］=butter（N，Ωc，‘ftype’，‘s’）

　　計算巴特沃斯模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母多項式系數(shù)向量。

　　說明：調(diào)用參數(shù)N和Ωc分別為巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)和3dB截止頻率（實際角頻率），可調(diào)用buttord（2）格式計算N和Ωc。系數(shù)B、A按s的正降冪排列。

　　tfype為濾波器的類型：

　　◇ftype=high時，高通；Ωc只有1個值。

　　◇ftype=stop時，帶阻；Ωc=［Ωcl，Ωcu］，分別為帶阻濾波器的通帶3dB下截止頻率和上截止頻率。

　　◇ftype缺省時：若Ωc只有1個值，則默認為低通；若Ωc有2個值，則默認為帶通；其通帶頻率區(qū)間Ωcl《Ω《Ωcu。

　　（6）［H，w］=freqz（b，a，N）

　　b和a分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項式的系數(shù)向量，返回量H則包含了離散系統(tǒng)頻響在0～pi范圍內(nèi)N個頻率等分點的值（其中N為正整數(shù)），w則包含了范圍內(nèi)N個頻率等分點。調(diào)用默認的N時，其值是512。可以先調(diào)用freqz（）函數(shù)計算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，然后利用abs（）和angle（）函數(shù)及plot（）函數(shù)，繪制出系統(tǒng)的頻響曲線。

　　（7）lp2lp函數(shù)

　　［bt，at］=lp2lp（b，a，w0）

　　該函數(shù)用于實現(xiàn)由低通模擬原型濾波器至低通濾波器的頻率變換，可以用傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間進行轉(zhuǎn)換，但無論哪種形式，其輸入必須是模擬濾波器原型。

　　（8）［bz，az］=impinvar（b，a，fs）

　　把具有［b，a］模擬濾波器傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為采樣頻率為fs的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)模型［bz，az］，如果在函數(shù)中沒有確定頻率fs時，函數(shù)默認為1Hz.